基于四阶龙格- 库塔公式的火控系统瞄准角修正模型

徐亚军，王 钰，宋贤龙

（陆军装甲兵学院蚌埠校区，安徽 蚌埠 233050）

0 引言

大量的部队实弹射击训练结果表明，装甲突击车辆火炮在相同距离上对炮目高低角不同的目标射击时，炮目高低角越大其命中概率越低。究其原因主要是由于现行火控系统是采用弹道刚性原理［1］来解算弹道诸元的，弹道刚性原理是制定装甲突击车辆直瞄射击规则的重要依据。根据弹道刚性原理，火炮射击时若射角不超过15°，在确定首发诸元时可以不考虑目标炮目高差的影响，直接根据测得的目标距离确定瞄准角瞄准目标射击，而不影响射击效果，这样大大提高了射击的简便性。而实际上，目标炮目高差对射击是有一定影响的，并且随着炮目高差的增大其误差越大。那么，能不能通过一种算法，将这种误差计算出来，从而为部队组织射击训练时提供修正的理论依据？下面就来介绍一种基于四阶龙格-库塔公式的装甲突击车辆火控系统瞄准角修正模型。

1 四阶龙格-库塔公式

基于该思路产生的龙格-库塔算法，应用最为广泛的是四阶经典龙格-库塔公式：

式中，yn+1由现在的值yn加上步长（时间间隔）h 和一个估算的斜率的乘积所决定，该斜率是开始斜率k1、中间斜率k2、中间斜率k3和终点斜率k4的加权平均值。

2 基于四阶龙格- 库塔公式的质点弹道方程仿真模型

将质点弹道方程组［3］中的各式作为四阶龙格-库塔公式的一阶迭代系数，可以得到质点弹道方程的仿真模型。质点弹道方程要区分两种形式：一种是炮目高低角ε=0，另一种是炮目高低角ε≠0，所以仿真模型也区分两种。

2.1 当炮目高低角ε=0 时，令

式中，C 为弹道系数；H（y）为空气密度函数，随高度y变化；G（v）为空气阻力；函数vx，vy为弹丸初速在x，y坐标系投影轴上的分速度。将式（2）代入式（1）有

式（2）和式（3）即为ε＝0 时的四阶龙格- 库塔法形式的质点弹道仿真模型。

2.2 当炮目高低角ε≠0 时，令

3 仿真模型的Matlab 程序设计

由于炮目高低角ε＝0 和ε≠0 两种情况的仿真步骤是一致的，只是赋予的初值和选择的计算公式不一样，限于篇幅，下面只给出炮目高低角ε≠0 时的仿真步骤。

在坦克火控系统射击诸元求解过程中的弹道问题，并不具备微分方程组所需的初始条件，而已知的是

这是典型的两点边值问题，这里以弹道轨迹的某些物理特性为依据，通过采用步长自动选择的迭代-修正法，将弹道微分方程边值问题化为初值问题进行迭代求解。仿真求解的步骤如下：

3.1 预先估计瞄准角

预估值可根据距离D 的大小及弹道的规律来加以选择，一般可将瞄准角表示为D 的一次函数，即

式中，k 为按射表选择的系数。

3.2 按初值问题求解弹道微分方程组

有了瞄准角的估算值，即可求出初始条件，因此，对弹道微分方程组按初值问题进行数值求解，选择的公式为式（4）。在求解过程中可形成各弹道诸元的序列值，即

其中，j 为整个迭代-修正法的序号；i 在积分计算过程中，以步长为h 的递推计算序号。

3.3 根据落点诸元进行瞄准角修正

3.4 步长的自动选择

在每次迭代的积分计算过程中，还可以根据落点的计算信息，对积分步长进行选择，以保证计算的精确性。有以下公式

3.5 迭代完成的条件

程序设计框图如图1 所示。

图1 炮目高低角ε≠0 时仿真程序框图

4 仿真结果分析

将编辑完成的程序代入至MATLAB 中运行计算，程序能顺利运行。图2 为穿甲弹基于弹道刚性原理（炮目高低角ε=0）和基于四阶龙格-库塔公式（炮目高低角ε≠0 时）两种不同的弹道轨迹，图3为破甲弹两种不同方法的弹道轨迹，图4 为杀爆弹两种不同方法的弹道轨迹（图中蓝色曲线为基于弹道刚性原理计算的弹道轨迹，红色曲线为基于四阶龙格-库塔原理计算的弹道轨迹）。

图2 穿甲弹瞄准角修正量

图3 破甲弹瞄准角修正量

图4 杀爆弹瞄准角修正量

从图中可以看出不论是何种弹种、多远的炮目距离、多大的炮目高低角，采用弹道刚性原理的弹道轨迹要比基于四阶龙格-库塔原理的轨迹高出一部分，这就需要在实际射击过程中，对涉及到炮目高低角的瞄准角进行相应的向下修正，穿甲弹的瞄准角修正量如表1，破甲弹的瞄准角修正量如表2，杀爆弹的瞄准角修正量如表3（限于篇幅，只选取了部分炮目距离）。

表1 穿甲弹瞄准角修正量（mil）

表2 破甲弹瞄准角修正量（mil）

表3 杀爆弹瞄准角修正量（mil）

5 结论

本文得到的结论主要有：1）四阶龙格-库塔法可以进行质点外弹道方程的数值计算，得到的外弹道诸元基本符合射表；2）利用四阶龙格-库塔公式可以求解当炮目高低角不为零时的外弹道诸元，从而弥补弹道刚性原理在射表中应用的不足；3）利用四阶龙格-库塔法进行仿真计算，可以得到当炮目高低角不为零时在不同炮目距离上的瞄准角修正量。该方法已经进行过实弹射击检验，经过修正后，射击命中率明显提高。