初中数学运算素养：内涵、特征及“生长点”

印冬建

摘要：要在初中阶段较好地发展学生的数学运算素养，首先，要明晰数学运算素养的内涵，知道从哪些方面去发展;其次，要把握数学运算素养的特征，整体规划相关的教学;最后，要建构数学运算素养的“生长点”，形成教学的“着力点”，具体设计落实的措施。数学运算素养的特征有整体性、阶段性、持久性等，“生长点”有扎实的运算知识、良好的运算习惯、积极的运算情感和适当的运算训练等。

关键词：数学运算素养 内涵 特征 生长点

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。它是《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《2017版课标》）明确提出的学生需要着力发展的六大数学学科核心素养之一。但是，学生数学学科核心素养的培养不是一蹴而就的，发展学生的数学运算素养不只是高中数学教学的任务，小学、初中乃至大学都应将发展学生的数学运算素养作为数学教学的重要任务。只不过，不同的阶段，数学运算素养的发展会有不同的要求。

要在初中阶段较好地发展学生的数学运算素养，首先，要明晰数学运算素养的内涵，知道从哪些方面去发展;其次，要把握数学运算素养的特征，整体规划相关的教学;最后，要建构数学运算素养的“生长点”，形成教学的“着力点”，具体设计落实的措施。本文拟结合一些案例谈一谈初中阶段数学运算素养的内涵、特征及“生长点”。

一、数学运算素养的内涵

（一）运算能力

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。它是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011版课标》）给出的十个“核心词”之一。从《2011版课标》给出的定义不难看出，运算能力的培养有运算法则和运算律这两个重要的抓手。具有较强运算能力的具体体现是能够根据运算法则正确地进行运算，能够运用运算律简化运算过程。说得直白一点，就是算得既快又对。由此可见，发展学生的运算能力仅需进行知识、技能层面上的操作。这也就导致不少一线初中数学教师在教学中强化运算法则的记忆和运算技巧的训练（实际上就是运算律的应用），让学生身陷运算的“题海”。

（二）数学运算素养与运算能力

《2017版课标》还进一步明确了数学运算“主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等”，详细阐述了数学运算的具体过程。事实上，不管哪个学段的数学学习，都要经历这样的运算过程。《2017版课标》还提出：“通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。”显然，数学运算素养是在长期数学运算的基础上形成的，适应个人终身发展和社会发展需要的，与运算相關的知识、能力、情感与态度的总和。如果说运算能力是由运算法则和运算技巧形成的“二维平面”，那么数学运算素养则是由运算法则、运算技巧、运算思考、运算情感等构成的“多维空间”。可见，数学运算素养是运算能力的继承和发展，运算能力是数学运算素养的“内核”，发展学生的数学运算素养必须从培养学生的运算能力开始。

（三）数学运算素养的内涵解读

无论《2017版课标》，还是《2011版课标》，都对教材的编写提出了具体的要求：教学内容的编排，不仅要符合学科知识体系，还要与学生的认知规律吻合。因而，不同学段的数学教学侧重点也不同，这在数学运算上同样有所体现。初中数学运算教学的主要内容有：数的计算、估值和近似计算，式的计算，数、式的变形，几何图形中几何量的计算等。结合初中数学的特征和《2017版课标》给出的数学运算素养内涵，笔者以为，初中阶段数学运算素养的内涵主要有四个方面：（1）会根据运算法则和数学公式对数、式、几何量进行正确的运算;（2）能根据问题的条件与目标处理数据，对数、式、几何量进行正确的变形，寻求与设计合理、简捷的运算途径;（3）能根据要求估算结果和进行近似计算;（4）具有良好的运算习惯和积极的运算情感，初步形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

二、数学运算素养的特征

（一）整体性

数学运算素养是与数学运算相关的知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等的“综合体”。其中，扎实的运算知识、熟练的运算技能是数学运算素养的显性表现，而深度的数学思考、积极的情感态度则隐藏于学生解决问题的活动中，不易察觉。这四者相互影响，彼此融合，构成了数学运算素养这一整体。所以，一次有效的数学运算应该是四者的整体联动：没有知识技能的参与，是不可能算对的;缺少了深度思考和积极情感的投入，想要巧算、速算几无可能;不指向问题的解决，则运算的价值不能显现。只有四者整体并进、同步发展，学生的数学运算素养才能得到真正的发展。

本题是笔者为人教版初中数学七年级上册“几何图形初步”的复习课设计的例题。题目中涉及的运算主要是角的和、差、倍、分，是“几何图形中几何量的计算”。解答本题需要的基础知识是角的分合、有理数的加减乘除和合并同类项等，蕴含的数学思想有类比、特殊与一般、整体等。这些都是学生解答与交流中能明确感知的。而所经历的数学思考、运算情感体验和运算态度变化等，学生是无法直接感知的，但这一切又真真切切地存在于运算过程中。

对这样一道例题的探索与交流，可以调动学生的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等多要素参与。它们复杂地交织在一起，彼此关联，相互影响;一个要素发展了，其他要素也会同步发展。最终，我们教学的成效或许没有停留在一道数学题的解答、一个重要结论的获得或一个数学模型的建构上，而指向学生数学运算素养整体发展这样更高层次的目标。

（二）阶段性

与学生的数学认知水平一样，学生的数学运算素养也遵循“循序渐进，螺旋上升”的发展规律。在不同的认知阶段，学生的数学运算素养会表现为不同的层次和水平。此外，根据数学发展的需要，同样的运算在不同的阶段会有不同的要求，这就是运算本身的阶段性。因而，阶段性也应是数学运算素养的一个重要特征。

上述案例中，学生看上去是在用乘法分配律进行计算，但体现出的数学素养却具有明显的阶段性。在小学，他们应用乘法分配律时，仅涉及数的运算或非常简单的式的运算。到了初中，不仅要涉及式的运算，还要涉及“几何图形中几何量的运算”，甚至还会出现如第（3）问那样逆用乘法分配律的情形。这是学生的运算知识积累和运算技能提升的结果。

再如，在小学，学生看见圆周率就会想到把3.14代入计算，而且会潜意识地调用“获得3.14的整数倍结果”来简化运算过程。到了初中，遇到要求“结果保留π”的问题时，代入3.14显然就不行了。

（三）持久性

与其他的数学学科核心素养类似，数学运算素养的持久性有两层含义：一是发展数学运算素养是一项与学生的数学学习生涯相伴的任务，要通过十几年甚至几十年的坚持方能完成;二是在学生未来的工作与生活中，数学运算素养将会得到持久的应用。

上述案例中，“参照有理数运算进行其他类型运算的经验”“利用特殊与一般、整体等数学思想可以简化数学运算的过程”等都是学生数学运算素养的重要组成部分。获取这些素养绝非朝夕之功，它们是学生经历了义务教育前两个学段和七年级第一学期这6年半时间的数学运算后积累下来的;如果没有始终如一的坚持，它们是很难“成型”的。而这些素养一旦形成，将会一直在学生的认知系统中，伴随他们进一步学习、工作和生活，成为他们解决数学问题及数学以外问题的重要工具。

三、数学运算素养的“生长点”

（一）扎实的运算知识

章建跃先生说过：“掌握知识是形成素养的基础，‘无知者无能，很难想象知识贫乏者会是一个高素养的人。”落实到数学运算教学中，就是要做到准、精、简，充分发挥算理、算法、算序、算技等运算知識在发展学生数学运算素养中的作用。

算理关乎运算的意义和道理。只有准确把握算理，才能保证运算过程合理、方法适当、结果正确。所以，运算教学应从学生理解算理开始，设置指向算理的问题串，通过“一问再问”引发学生深度思考，使学生能准确把握每一种运算的含义和理由并合理应用。我们来看学生计算的一个式子：2x-x=2。这个式子显然是不对的，那学生为什么会出错呢？其实，在计算这样的式子前，学生积累了这样的生活经验：几个东西放在一起（有“相加”的意味），拿走一个东西（有“减去”的意味），还剩另一些东西，如两把椅子和一张桌子，搬走了桌子，还剩下椅子。因此，在计算2x-x时，这个经验被错误地迁移了过来：2是“两把椅子”，x是“一张桌子”，2x-x就是“两把椅子、一张桌子减去一张桌子”，结果2就是“留下的两把椅子”。显然，生活经验的错误迁移，让学生感觉2x就是2与x相加，而没有理解2x的真正含义（2与x相乘），也就无法认识2x-x=x的理由（即x+x-x）。

除了重视算理之外，运算教学还要重视教材给定的算法、算序和基于运算律、运算公式生成的算技等运算知识。不妨再看一个学生计算的式子：（a-2b）²=a²-4b²。这同样是一个错误的算式，问题又出在哪儿呢？学生知道单项式乘多项式2（a-b）=2a-2b可以应用乘法分配律，将括号前的因数2“公平”地分配给括号里的两项a、-b;还知道积的乘方（ab）²=a²b²可以运用有关运算法则，将指数2“公平”地分配给两个因式a、b。因此，学生很容易受到这里的“公平分配”算法的影响，得到算式（a-2b）²=a²-4b²。显然，学生没有理解“（a-2b）²的实质是（a-2b）（a-2b）”的算理是根本原因。同时，学生没能准确地把握完全平方的算法也是重要的原因。学生如果知道（a-2b）²=（a-2b） （a-2b），接下来就能按照“多项式乘多项式”的算法、算序进行运算了。当然，学生如果能熟记完全平方公式，就可以给出更为简化的运算过程了。

（二）良好的运算习惯

运算习惯是学生运算系统的重要组成部分。在教学中，我们应注重培养学生良好的运算习惯，让学生在解题行为的不断优化中形成较强的运算能力和积极的运算情感，丰实数学运算素养的内涵。

1.审题习惯。

数学教学中，审题习惯的培养非常重要。运算教学中，我们应持续用固化的问题串，引导学生厘清题目中的数、式或几何量，明确所涉及的运算类别和运算顺序，为运算过程的展开扫清障碍。面对一道数学运算题，我们应引导学生有序地思考“有哪些数、式、几何量和运算符号”“包含了哪几种运算”“哪些数、式、几何量可以先行转化”“先算什么”“后算什么”“有哪些地方要注意”等问题。这种基于具体算式或情境的教学追问，能使学生的每一次运算都建立在有的放矢的条件梳理之上。如此反复经历，教师的有意追问就会逐渐变成学生的自觉思考，良好的个性化审题习惯就会在自觉思考中逐步养成，个体的数学运算素养也在不断提升。

2.思维习惯。

数学是思维的体操，离开了思维，数学学习是“玩不转”的。面对一道数学运算题，仅仅会审题是远远不够的：知晓参算对象、运算类别是第一步;接下来，还应努力尝试从自己的认知系统中调用运算方法、运算技巧和运算经验等。就算顺风顺水地算起来了，又怎么保证给出的过程就一定没有瑕疵，给出的结果就一定正确呢？所以，运算时还需要适时地反思给出的过程和结果。而这一切，都源于良好的思维习惯。为此，我们可以结合运算题目的特征，循序渐进地引导学生思考运算方法和运算技巧，让他们多想一想“怎么算”，反复推敲“行不行”，不断思考“怎么改”。这种针对思维习惯进行的训练，能让学生逐步形成程序化的运算思维，明确知晓自己开展运算的每一步该想什么、该怎么想、该怎么便捷地想，从而形成正确、简便的计算思路，并呈现出规范、翔实的运算过程。

3.验算习惯。

验算是检查数学运算结果是否正确的基本方法。学生在小学阶段就已经有了丰富的经历，换序再算、互逆倒算、代入检验等是他们常用的验算方法。到了初中，验算的适用范围得到了大幅的拓展，不仅有数式运算中的验算，还有解方程、解不等式的验算，以及建构模型（方程、不等式、函数等）解决实际问题时的验算、图形运算中的验算等。良好的验算习惯有助于学生发现运算失误，及时调整运算过程。因而，运算教学的一项重要内容就是学生验算习惯的培养。我们可以引导学生在运算过程中，反复进行题旁标注、分段验算、回头再算、代入复核等活动，通过验算经验的分享交流和不断强化，逐步培养学生的验算意识，以便他们尽早形成自主验算的良好习惯。

4.书写习惯。

“书写无错”是运算正确的必要条件。在数学运算教学中，我们应要求学生写出格式规范、内容有序、字迹清晰的运算过程——即便是写草稿。这不是作秀，而是为了让学生能较为便捷地找到“问题”——就说草稿的“有序呈现”，很明显，从乱七八糟的草稿中找寻“我错在哪儿”是比较困难的事情。书写习惯的培养是一项系统工程，需要多方参与，共同努力。作为数学教师，我们主要有五个抓手：（1）让学生参照运算范式书写规范而严谨的运算过程;（2）有计划、有步骤地长期训练学生的数学书写;（3）定期评价学生书写，并进行适当的奖励与指导;（4）教师以身示范，课堂板书规范工整;（5）协调教师、家长和学生等各方力量，共同规范书写。

（三）积极的运算情感

心理学认为，人的任何认知活动总是伴随着情感，是在情感的影响下进行的。运算亦是如此，积极的运算情感，能激活学生的运算思维，有利于學生提取运算知识展开有效运算。但是，通常没有人喜欢繁杂的数学运算。那么，如何让学生获得积极的运算情感呢？

1.评价激励。

在学习过程中，每个学生都渴望被赏识。在数学运算教学中，对学生的运算过程，教师要及时用真诚的微笑、友善的目光、亲切的赞语来评价激励，让他们感知自己所作运算的价值所在，激发他们的运算兴趣。教师的评价激励要正向，还要分层，不能仅仅以“对”或“好”来做简单的评判。而学生的运算能力和水平或多或少存在差异，我们应正视这些差异，认同学生的原有能力和水平，顺着他们运算素养的发展起点和发展速率实施评价，让每一个个体都首先成为“较好的自己”，最终成为“最好的自己”。

例如，教学“配方法”时，学生学习了用配方法解一元二次方程后，教师让学生从x²-2x=3、x²-3x-3、2x²-3x=3这三个方程中选择一个求解。很快，绝大多数学生都给出了一个方程的解答过程。在随后的交流中，基础薄弱的学生就展示了解第一个方程的过程，并得到了表扬;而“中等生”和“学优生”则分别展示了后两个方程的解答过程，并都得到了正向评价;对于一些敢于挑战自我，尝试解高难度方程的学生，就算没有给出完全正确的过程，教师同样大加赞赏。总之，所有的学生都积极参与了整个解方程与交流的过程，积极正向的评价让每一个人都感受到数学运算带来的快乐。在这样的分级设问、分级解答、分级评价中，每个学生的运算素养都得到了较好的发展。

2.榜样示范。

数学运算，获得正确的结果是终极目标，但没有正确的过程，即使运算的结果正确也毫无意义。所以，发展学生的运算素养，我们应将着力点放到运算过程上，要通过运算范例给学生树立榜样，让他们在“仿写”中守住运算过程的“底线”，确保在独立运算时不丢三落四。通过一段时间的有质量的训练，学生的常规运算成果成为范例是极有可能的。

例如，教学“有理数的乘方”时，教师出示计算题：-10²+[（-4）²-（1-3²）×2]。这道题运算类别多，括号多，稍不注意，就会出错。教师结合学生给出的板书，形成下页图2所示的范例，让学生结合范例，调整自己的运算过程。这个范例审题规范，解题也规范：准确标记，合理分步，有序呈现。为学生运算树立了榜样，让学生感受到数学的优美与严谨，同时激发学生“仿写”的冲动。接下来，教师便让学生“仿写”解答几道计算题，让学生进一步体验范例的优点。

（四）适当的运算训练

数学教学中，为了巩固知识、强化技能、感悟方法、积累经验，一些适时、适量、适度的训练是必不可少的。数学运算素养的培养也不例外。运算训练指向的不是解题，而是借助审、析、算等的磨砺，培养运算知识的提取与应用能力，形成严谨有序、反思质疑的运算思维，并充分感知运算过程的繁与简，有效辨别运算结果的对与错，积累运算经验。学生一旦有了丰富的数学运算经验，看到再繁杂的运算问题，也都不会慌张，而会努力地从已有经验中搜索出可用的经验来解决问题。

此外，我们必须准确把握运算练习的数量和质量，题目不要多，但要精。要知道，机械重复无意义的运算训练，不仅会增加学生本已过重的学习负担，而且会让计算过程“程式化”“习惯化”，运算的警觉水平显著降低，很多相同或相似的错误反复上演，运算训练进入恶性循环，即“烂熟”没有生巧，反而“生厌”“生笨”（李士锜教授语）。此外，要强调运算训练的针对性，重点呈现与所学运算知识紧密联系的、体现通性通法的基础题、变式题、综合题，以及学生易错的同类型题，让学生充分体会运算的合理性与多样性。

最后，需要指出的是，数学运算素养不是孤立的，而是融入“四基”“四能”，与它们共生共长的。数学运算素养生成于获取“四基”、提升“四能”的过程中，又进一步服务于“四基”的获得和“四能”的提升。