基于数学史：轨迹概念教学中的问题串设计

张佳淳 汪晓勤

摘要：从古希腊数学史料出发，利用问题提出的策略，提炼有关的轨迹问题，然后根据深度学习的四个原则，对这些问题进行编排，最终形成一个完整的问题串，从而为HPM视角下的轨迹概念教学提供参考。这个问题串体现了数学史融入数学教学的“知识之谐”“探究之乐”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。

关键词：HPM 深度学习 轨迹概念 问题串

课堂教学中，教师提问有四种功能：诱发学生参与教学活动、提供学习线索、提供练习与反馈机会、助推学习结果的迁移。已有研究表明，在一节50分钟的初中数学课上，高效的教师平均提出24个问题，而低效的教师平均提出8.6个问题。因此，问题设计至关重要。但是，如果问题设计缺乏整体性，则会导致课堂教学内容零散，不利于学生思维的提升。从问题走向问题串，不仅能更简洁、连贯、有效地驱动教学过程，而且能让学生在解决系列问题的过程中学会提炼知识、总结问题解决策略。

沪教版初中数学八年级上册《19.6轨迹》一节，在简单地引入线段垂直平分线、角平分线和圆这三类基本轨迹后，给出了4道例题、2道练习，共计13个轨迹问题。但是，这13个问题之间缺乏关联性和递进性，不能形成问题串。那么，针对轨迹概念的教学，能否设计出理想的问题串呢？

数学发展史就是一部问题解决的历史，蕴含着无数的数学问题，其中的很多问题都可以直接或间接地用于数学教学。当然，要设计理想的数学教学问题串，还需要兼顾问题的“历史序”“逻辑序”和“学生心理序”。为此，除了对问题的发展历史进行研究以及对教材和学情进行分析之外，还需要寻求相关学习理论的支撑。

下面，从古希腊数学史料出发，利用问题提出的策略，提炼有关的轨迹问题，然后根据深度学习的四个原则，对这些问题进行编排，最终形成一个完整的问题串，从而为HPM视角下的轨迹概念教学提供参考。

一、轨迹概念教学中的问题提出

古希腊数学家研究过三类轨迹，即平面轨迹、立体轨迹和线轨迹。平面轨迹包含直线和圆，立体轨迹包含三类圆锥曲线。古希腊数学家在解决三大几何难题时已经利用了轨迹;欧几里得《几何原本》中的一些命题已涉及某些平面轨迹;阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》中专门探讨了八类平面轨迹问题。因此，古希腊数学文献为轨迹概念教学中的问题提出，提供了丰富的素材。

教师从无到有地提出问题时，往往会觉得“腹中无墨，锅中无米”。这时，数学史料便是一种可利用的资源。当然，还需要利用问题提出的一些策略。当数学史料本身是一个数学问题时，可以采用复制式、情境式（仅改变情境）、条件式（改变已知条件）、目标式（改变要求目标）、对称式（将已知条件和要求目标互换）、链接式（对现有问题进行扩充，让新问题的解决依赖于现有问题的解决）和自由式（改变情境、条件和目标）等策略提出问题;当数学史料是一个数学命题时，可以采用情境式、条件式、目标式、对称式和自由式等策略提出问题。

基于学生的认知基础（了解的轨迹类型），通过对古希腊有关平面轨迹史料的整理与选择，我们采用适当的问题提出策略，最终得到—组问题（见表1）。

二、深度学习的原则及其与问题串设计的关系

深度学习是“21世纪技能”形成必不可少的途径。美国国家研究委员会认为，深度学习是个体将已学的知识从一种情境应用到另一种情境的过程，即迁移。孙妍妍等人认为，将“21世纪技能”与深度学习联系在一起的正是“迁移”这一经典概念，深度学习的本质是形成可迁移的知识。Goldman和Pellegrino分析了1955-2015这60年里基于研究的学习、教学、评估方面的已有研究成果，以及它们对教学和评估设计的影响，归纳出了深度学习背景下的四个学习原则：

1.学生来到教室学习的时候，并不是白纸一张，相反，他们带着来自先前教育经验的知识。

2.知识的内容和组织至关重要，为了发展探究能力，学生必须：（1）具有扎实的知识基础;（2）在概念框架的背景下理解事实和想法;（3）以有助于检索和应用的方式组织知识。

3.元认知过程有助于增强学习能力。

4.学习本质上是人与人之间的活动，人们经常通过社会交往进行学习。

一方面，学生学习最终的目标（之一）是迁移（运用），而最大的障碍就是不会迁移。数学教学中，虽然不同的问题往往具有某些一致性（相似或相关），但是，表述、条件、目标等的多样化往往会阻碍学生对它们的识别与解决。问题串中不同问题之间或明或暗的关联与递进，往往可以促进学生对已解决问题（已学习知识、已获得经验）的迁移运用。

另一方面，在有关问题串设计的已有文献中，部分研究结论与上述四个原则不谋而合。王先进认为，设计问题串时，同样应根据学生的认知规律，以学生原有知识或经验为起点。该观点与上述原则1一致。崔艳君提出，教师应通过设计有层次、有方向的问题串，把零散的知识结合起来，建立相互聯系的系统，帮助学生在大脑中形成清晰、稳定的知识链，当需要知识的时候，能快速提取信息;章建跃等人提出，以问题串为线索的教学过程设计，应为学生搭建理解的平台，铺设对概念进行概括的路线和阶梯。这些观点与上述原则2相对应。宋晓平等人认为，教师在课堂教学中使用的多种问题均可归为元认知问题，这类问题能促使学生自主探究，激发学生对自我进行元认知监控，并根据监控结果调整策略，以完成任务。该观点符合上述原则3所强调的元认知过程的重要性。罗国忠指出，小组讨论能有效激发学生的问题意识，结合问题串，可有效训练学生提出探究问题的能力。该观点与上述原则4相匹配。

因此，我们认为，深度学习的四个原则能够指导数学教学中的问题串设计。

三、轨迹概念教学中的问题串设计

为了使表1中提出的问题形成整体系统（而不是零散的），并且贯穿全课（而不是只出现在新课引入或知识探究环节），我们以问题1为起点，依次进行难度递进的变化和推广，从而得到新的问题;以“△ABC的边BC=2cm”（即三角形的一条边固定）为统一背景，将各个问题串联起来，从而形成问题串。在具体的设计中，深度学习的四个原则起到了很好的指导作用。

（一）用原则1指导设计

有效教学的一个关键特征是，激活学生对主题的认知基础，并提供机会使学生在此基础上发展。学生在学习新知识之前，往往已接触过相关知识。但是，学生借助先前所学形成的对新知识的理解，可能比较浅显，甚至存在错误。应该通过教学，让深刻的、正确的认知取代浅显的、错误的认知，让学生看到后者的不足之处。

学习轨迹概念之前，学生已经学习了有关平行线、线段垂直平分线、角平分线和圆的性质定理及其逆定理，具备了这四类基本轨迹（我们认为教材中引入的三类基本轨迹是不全面的，漏掉了平行线）的认知基础。但是，对于轨迹问题，还要求同时论证其纯粹性与完备性，即论证性质定理及其逆定理。学生对此认识不足，普遍存在以纯粹性掩盖完备性的情况。为了引导学生将新知识纳入已有认知，并纠正论证的易错点，我们设计了如下问题：

问题1 如果△ABC的面积为已知数，那么顶点A的轨迹是什么？（两平行线）

问题2 如果△ABC是以BC为底的等腰三角形，那么顶点A的轨迹是什么？（线段垂直平分线除去一点）

问题3 如果∠CBD大小固定（不为平角），且BD与BC相等，△ABD面积与△ABC面积相等，那么顶点A的轨迹是什么？（两角平分线及其反向延长线除去一点）

问题4 如果△ABC是以BC为腰的等腰三角形，那么顶点A的轨迹是什么？（两圆除去两点）

这里，问题1就是表1中的第1题（用符号语言表达），问题2是表1中的第7题在统一背景下的条件式改编，问题3是表1中的第5题在统一背景下的条件式改编，问题4是表1中的第9题在统一背景下的条件式改编。它们分别对应四类基本轨迹。

而且，在三角形的统一背景下，问题1特别需要注意完备性的验证，问题2特别需要注意纯粹性的验证，问题3、4同时需要注意完备性和纯粹性的验证。

（二）用原则2指导设计

该原则来自一份对专家和新手学习效果的比较研究：相比于新手，专家对知识的理解更为系统化，他们将知识联结并组织成有意义的模式或图解，反映出深刻的理解，这有助于他们记住和选取相关信息，从而进行知识迁移。

学生通过上面四个问题，认识了四类基本轨迹后，教师应该对问题进行变化和推广，让学生体会到基本轨迹的多元表征，然后引导学生提炼不同表征的共同本质（即寻找“变中不变”），并总结解决问题的一般方法（即关注“多题一解”），从而帮助学生形成一个有层次性和条理性的轨迹概念框架，促进知识迁移。

具体地，由问题2可以变化或推广得到：

问题5 在△ABC中，若AB：AC=2：1，则顶点A的轨迹是什么？（圆）

问题6 在△ABC中，若∠BAC=90°，则顶点A的轨迹是什么？（两半圆）

问题7 （1）在△ABC中，若∠BAC=60°，则顶点A的轨迹是什么？（两优弧）

（2）在△ABC中，若∠BAC=120°，则顶点A的轨迹是什么？（两劣弧）

这里，问题5相当于将问题2的条件“AB：AC=1：1”变为“AB：AC=2：1”，也就是表1中的第8题;问题6、7相当于将问题2边长关系一定的条件变为角的大小一定，其中问题6也就是表1中的第4题，问题7也就是表1中第3题的两个特殊情况。

由问题3可以变化或推广得到：

问题8 若DE与BC平行且相等，△ADE面积与△ABC面积相等，则顶点A的轨迹是什么？（平行线）

问题9 若∠CBD大小固定（不为平角），且BD与BC相等，△ABD面积与△ABC面积之比为2：1，则顶点A的轨迹是什么？（两角的“不平分线”及其反向延长线）

问题10 若DE与BC平行且相等，△ADE面积与△ABC面积之比为2：1，则顶点A的轨迹是什么？（两平行线）

这里，问题8、9、10相当于将问题3的条件“∠CBD大小固定”或“△ABD面积与△ABC面积相等”变为“DE与BC平行”或“△ABD面积与△ABC面积之比为2：1”，也就是表1中第6题的三个特殊情况。

这样，基于问题1-10，教师可以引导学生提炼轨迹表征的本质：在平面几何中，两个条件决定一个点（对具体的轨迹类型，可具体地分析“两个条件”）。同时，可以引导学生总结解决轨迹问题的数学思想方法：描点法或转化法（转化为基本轨迹）。

（三）用原则3指导设计

元认知是一个主动监控学习的过程：什么是被理解的，什么是没被理解的？哪些符合当前的概念，哪些不符合当前的概念？回答了什么问题？有什么进展？……通过元认知，学生可以培养以下能力：猜想，向自己解释以提高理解，注意未能理解的地方，激活背景知识，提前计划。

教師可以利用波利亚的“解题表”，帮助学生构建解决轨迹问题的元认知体系。首先，熟悉问题：动点满足的两个条件是什么？其次，寻求解题方法：是否可以转化为四类基本轨迹？能否考虑特殊点？然后，书写过程：直接画出图形或描点观察，再采用文字语言描述轨迹，并判断是否符合纯粹性与完备性。最后，总结与回顾：动点的条件与同类型题目是否有共性？如何纳入轨迹的知识框架？

通过上述10个问题，学生已经学习了四种基本轨迹的不同表征和共同本质，感悟了轨迹探求的一般过程。教师可以设计如下问题帮助学生监控学习进度：

问题11 若△ABC是等边三角形，则顶点A的轨迹是什么？

问题12 若△ABC是等腰三角形，则顶点A的轨迹是什么？

问题13 若平面上两个三角形面积相等，公共顶点A所对的底边长也相等，则顶点A的轨迹是什么？

问题14 若平面上两个三角形面积之比为2，公共顶点A所对的底边长也相等，则顶点A的轨迹是什么？

问题15 若平面上两个三角形面积之比为B，公共顶点A所对的底边长也相等，则顶点A的轨迹是什么？

这五个问题是之前问题的进一步特殊化或一般化。学生在解决问题时，不仅可以关注元认知过程，而且能够充分理解轨迹概念，破除思维定式，提高思维的灵活性。问题11是问题2和问题4的“交集”（特殊化），需要运用交轨法，能让学生注意到轨迹也可能是有限个点。问题12是问题2和问题4的“并集”（一般化），需要分类讨论，能让学生注意到轨迹也可能是多条直线或曲线的合并。问题13是问题3和问题8“并集”的进一步一般化（公共顶点A所对的底边所在直线除了相交、平行，还可能重合），问题14是问题9和问题10“并集”的进一步一般化（公共顶点A所对的底边还可能共线），问题15是问题14的進一步一般化（面积之比不确定），它们都需要分类讨论。

（四）用原则4指导设计

当学生合作时，他们使思维对彼此可见，从而分享、讨论可能的挑战，扩展彼此思维和理解的策略和观点。各种类型的合作学习，对个体学习都有积极的影响。教师要设置具有挑战性以及开放性的问题，引导学生通过小组讨论和全班交流，解决问题，碰撞思维，融合理解。特别地，设置开放性的问题时，可以不局限在数学范围内，而拓展到人生、文化等领域内，进行更发散的关联、想象，以真正提出具有充分开放性的问题。

上面的问题5、9、14、15对学生来说，就具有一定的挑战性，教师可以重点引导学生小组讨论、全班交流，或者留给学生课后充分思考、探究。

此外，教师还可以提出以下具有开放性的问题，引导学生进行课堂的小结与提升：

问题16 你能不能自己提出并解决一个轨迹问题？

问题17 你的成长轨迹是怎么样的？

问题18 人生的轨迹该怎么走？

问题16检查学生学习情况;问题17、18升华课堂格局，引发学生思考人生规划。

四、设计反思

上述基于数学史、利用问题提出的一些策略、根据深度学习的四个原则设计的轨迹概念教学问题串（问题1-18），以四类基本轨迹为核心，以线段（长度）、角（角度）、直线、圆、平行、垂直、平分（对称）、三角形（面积）等为要素，既纵向承接上节课的内容，又横向涵盖平面几何中常见的元素。其结果更是反映了集合思想在平面几何中的渗透：不同的轨迹图形对应不同的点的集合，交轨法的结果为多个图形公共点所成的交集，分类讨论的结果为多个图形的所有点所成的并集。其内涵之丰富、变化之多元，是理想的描述与解释轨迹概念、引导学生“再发现”“再创造”的材料，甚至可设计为一节轨迹练习课或复习课。

进一步来看，这个问题串还体现了以下教育价值：

1.构建知识之谐。问题串不仅揭示了古希腊轨迹思想的源与流，而且向学生提供了古人研究轨迹的视角，即从静态的曲线看动态的轨迹，从几何元素的运动变化看不变量。

2.营造探究之乐。层层递进、由浅入深的问题串，是围绕学生“最近发展区”搭建的“脚手架”，为学生提供了拓展探究的机会与材料，使学生能够在合作学习中弥合个体问题解决能力的差距。

3.彰显方法之美。轨迹问题串的解答利用了描点法或转化法，其中的部分问题需要利用分类讨论的思想，而纯粹性与完备性的检验也渗透了特殊化（注意特殊位置的点是否符合条件）和反证法的思想。

4.实现能力之助。首先，利用描点法观察并猜想轨迹，有助于培养学生的直观想象能力;其次，对轨迹问题纯粹性与完备性的辨析，有助于提高学生的逻辑推理能力;再次，概括不同表征的共同本质和解决问题的一般方法，有助于发展学生的数学抽象能力。

5.展示文化之魅。一方面，问题串以满足条件的动点为载体，以交轨法为手段，以分类讨论为思想，呈现了一个多彩迷人的平面轨迹图景，让学生领略到轨迹的多元性;另一方面，问题串跳出纯粹数学内容，既为数学平添了“人情味”，更将课堂上升到哲学思考的层面，体现了数学与人类其他知识领域之间的联系。

6.达成德育之效。问题串的设置由易到难，可帮助学生培养坚韧不拔、刻苦钻研的探究精神，形成不畏困难、越挫越勇的学习态度，重塑独立自信、乐学善学的学习信念，从而有效落实学科育人。