单元视角下的“等比数列的前n项和”课时设计

任念兵

摘要：在单元整体视角下设计每个课时的教学，都应以学生已有的知识经验为基础，瞻前顾后、纵横联系，将该课时的新知识嵌入已有的知识体系，同时为后续的相关知识埋下伏笔，从而形成良好的认知结构。“数列”单元的教学要重点突出逻辑推理（重点是类比推理）和数学运算两大核心素养的培养，而“瞻前顾后”地设计“等比数列的前n项和”的教学，可以集中体现出“数列”单元是培育这两大核心素养的重要载体。

关键词：中观教学设计 单元视角 瞻前顾后 等比数列的前n项和

在中观教学设计的各个操作环节中，用整体思维理解单元教学内容是关系到教学设计优劣的关键。在分析单元教学内容时，教师需要钻研教材，针对具体的数学内容，明晰该知识是什么，该知识是用什么数学思想与方法得到的，该知识的上位知识、下位知识和并列知识分别是什么。在单元整体视角下设计每个课时的教学，都应以学生已有的知识经验为基础，瞻前顾后、纵横联系，将该课時的新知识嵌入已有的知识体系，同时为后续的相关知识埋下伏笔，从而形成良好的认知结构。特别地，要整体把握教学内容，注重核心素养发展的连续性，并突出课时在单元中的地位和价值，关注核心素养发展的阶段性。本文以沪教版高中数学教材“等比数列的前n项和”内容为例，阐述单元视角下“瞻前顾后”的课时设计。

一、“数列”单元的整体分析

“数列”单元的研究思路与函数单元类似，即“数列的定义-表示（通项公式、递推公式）-性质-特殊的数列（等差数列、等比数列）-联系与应用”。对于数列这种离散函数，沪教版教材还研究了数列求和与数列极限。

“运算”是数列单元的一条逻辑主线，是研究数列的基本手段。通过减（除）法运算发现差（比）相等，于是有“等差（比）数列”。它们的通项公式、基本性质、前n项和公式等规律性、不变性，都是在运算中出现的。而数列极限研究的重点是，利用三个常用数列极限和极限的运算法则，计算各种数列的极限。

在思想方法层面，等差（比）数列的通项公式及前n项和公式中含有5个量a1、d（q）、n、an、Sn，由其中的3个量可以求其余的2个量，自然地渗透了方程的思想方法。将通项公式及前n项和公式看成关于n的函数，可应用函数的观点和研究函数的方法解决有关数列单调性和最值的问题，渗透了函数的思想方法。在运用等比数列的前n项和公式时，要注意按公比q=1和q≠1分类讨论;在已知Sn求an时，应先分n=1和n≥2两种情况计算，再验证能否统一。这些都是分类讨论思想的体现。将各种数列转化为两个基本数列（等差数列、等比数列）进行研究时，自然地加强了化归思想方法的运用。

二、“等比数列的前n项和”课时的“瞻前顾后”分析

（一）“瞻前”1：为什么要研究数列求和？

数列概念的理解并不困难，为什么要研究数列通项的性质和数列的部分和（前n项和），才是数列中的真正问题。数列与级数是两个共生的概念，从数学的角度看，级数才是数学家关注的重点，也是对数学产生重要影响的概念。由于级数的收敛性取决于通项的性质，所以研究数列通项的性质是自然的;而研究级数的收敛性，往往就是判断数列前n项和的极限是否存在。

（二）“顾后”1：如何理解教材中无穷等比数列各项的和？

无穷等比数列各项的和，已经不同于初等数学中有限项的和，而是前n项和的极限值。用高等数学的观点看，幂级数是数学分析中的重要概念，而无穷等比数列各项的和作为一种特殊的幂级数，其研究方法和结论对幂级数的研究有重要的参考价值。

（三）“瞻前”2：为什么不能类比等差数列前n项和公式的推导方法来研究等比数列求和？

从形式上看，等差数列前n项和公式的推导方法（倒序相加法）不能简单地类比到等比数列中来。但是从目标来说，等差数列、等比数列求和都是通过消去相同的项，使得和式中的项数减少：等差数列求和的倒序相加法Sn+Sn，实际上是通过“配对”将不同数的和转化为相同数的和，从而减少项数;等比数列求和的错位相减法（教材选择的方法。等比数列求和还有迭代递推、利用合分比定理、裂项相消等方法，它们都合乎消项的逻辑，但是不太利于类比等差数列求和的思路）Sn-qSn，则是通过“错位”消去两式中的公共项，从而减少项数。因此，两类数列求和看似形式不同，但本质上都是通过运算技巧达到消项的目标。

（四）“顾后”2：如何理解等比数列求和的思想方法对后续学习的价值？

从思想内涵看，数列求和的本质就是消项。数列是离散的函数，而连续函数的定积分，根据牛顿—莱布尼茨公式，可以求出原函数后作差。故从运算技巧上看，数列求和的根本方法是裂项相消（差分求和）。等差（比）数列的求和都可以利用适当的裂项技巧来实现相消。多年来的高考数学压轴题中较难的数列不等式a1+a2+…+an

综上，“数列”单元的教学要重点突出逻辑推理（重点是类比推理）和数学运算两大核心素养的培养，而“瞻前顾后”地设计“等比数列的前n项和”的教学，可以集中体现出“数列”单元是培育这两大核心素养的重要载体。

三、“等比数列的前n项和”课时的具体设计

（一）教学要素分析

“等比数列的前n项和”是“等差数列的前n项和”“等比数列及其通项公式”内容的延续，也是“无穷等比数列各项的和”等内容的必要准备。公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、方程等思想方法，在之前的学习中都有一些铺垫，也都将有助于数列的后续研究。本节课的教学重点是等比数列前n项和公式的推导和运用。

学生已经学习了等差数列的前n项和公式，对数列求和已有了一定的认识。在等比数列及其通项公式的学习中，学生已经体会到等比数列与等差数列的相似性，会自然地进行知识的迁移，类比等差数列来思考等比数列的问题。然而，等比数列前n项和公式的推导方法和推导等差数列的前n项和公式所采用的“倒序相加法”有很大的区别，学生难以通过运算形式上的类比获得。本节课的教学难点是等比数列前n项和公式的推导方法。

基于對教学内容和学生学情的分析，拟订本节课的教学目标：掌握等比数列的前n项和公式;学会推导等比数列的前n项和公式;理解错位相减法的内涵，体会转化与化归的思想;在类比等差数列研究等比数列求和的过程中，提升逻辑推理素养和推理论证能力。

（二）教学过程设计

1.创设情境，提出问题。

问题1：国际象棋起源于印度，棋盘上共有8行8列，64个格子。相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。”这位发明者要了多少颗麦粒？

（预设学生回答：求以1为首项、2为公比的

等比数列的前64项的和。）师

今天我们一起来研究等比数列的前n项和。

[设计意图：创设问题情境，提出求特殊等比数列前64项和的问题。]

课后作业：校本作业“等比数列的前n项和（1）”（内容分两部分，分别是基本的公式运用和转化为等比（差）数列后的公式运用。具体题目省略）。

[设计意图：思考题引导学生深化对等比数列前n项和公式结构的认识，课后作业帮助学生全面巩固本节课的基本知识和技能。]

（三）教学设计说明

类比函数研究数列，类比等差数列研究等比数列，类比实数的运算研究数列极限的运算等，蕴含着丰富的类比推理的思维方式。求数列的通项、前n项和都涉及算法的选择问题，而代数运算的方法和思路取决于运算对象的性质，如不同的数列结构决定了不同的求和方法，这些都蕴含着数学运算的核心素养。

等比数列前n项和公式的推导过程，是本节课教学的重中之重。根据课堂生成，引导学生合乎逻辑地思考问题、推导公式是本节课设计的基调。学生简单地形式类比等差数列求和的倒序相加法，会得到错误的思路。教师引导学生分析：等差数列求和的实质是消去中间项，手段是两式相加的运算，条件是等差数列的性质;类比考虑等比数列中应采取何种运算，利用什么性质，最终实现消去中间项的目标。因此，在这一环节，特别要妥善处理预设与生成的关系。有些学生会因为预习过有关内容，所以直接用错位相减法来处理，教师可以追问“你是怎么想到的？”，引导学生类比等差数列求和来思考等比数列求和，根据已有的知识和方法来思考新的问题。