例谈几何背景下运算能力的培养策略

摘 要：数学运算包含了代数背景下的运算和几何背景下的运算，几何背景下的运算是指运算的对象是几何量，如线段长度、角度大小、面积、周长等。几何背景下運算的难点在于如何从所给的条件以及图形中构造出等量关系，这就使得在几何背景下的运算与逻辑推理息息相关。可见，几何背景下的运算能力标准与常见的代数运算的水平标准是不一样的。因此，研究有效培养学生在几何背景下的运算能力的策略是非常必要的。

关键词：几何背景;运算;图形;等量关系;逻辑推理;策略

运算作为基本技能，在所有研究领域都起到了至关重要的作用。同时，运算能力的发展又有助于培养学生观察、发现、分析问题的能力。在初中数学中，几何背景下的运算问题是重点考查方向，也经常需要通过几何运算的结果确定推理方向。因此，几何背景下的运算是中学生的一项重要技能，也是促进学生能力发展的重要因素。本文将以人教版七年级上《角的运算阶段复习》为例，谈谈基于几何背景下运算能力培养策略。

一、 教材与学情分析

本节课是旨在培养学生在几何背景下的运算能力的一节阶段性复习课。本节课通过复习巩固—问题探究—变式训练这三个环节来突破难点，以发展学生的运算能力。课堂上，引导学生进行观察发现并总结等活动，经历从特殊到一般的过程，学习一些常用的解决问题的技巧，从而培养学生在几何背景下的运算能力。

学生虽然在此之前已经学过了线段的运算，但是对于七年级上的学生来说，他们对于几何的相关运算还是很陌生，存在畏难情绪。在这个阶段的学习中，除了对运算有要求外，还要求学生具备一定的推理能力。基本图形的认识不论是对于几何中的运算，还是对于推理都是至关重要的。因此，本节课想借助常见的复合角的模型，渗透研究一般几何问题的套路以及常用的一些运算技巧。

二、 教学过程

（一）热身训练

1. 如图1所示，若∠AOB=44°30′，∠BOC=16°24′，则∠AOC=    。

2. 如图2，∠1的余角可能是下图中的（  ）

3. 如图3，O为直线AD上的一点，OB是∠AOC内部的一条射线，且满足∠AOC与∠AOB互补，∠AOB=25°，求∠COD。

（二）教学活动

课前请学生快速完成上述3题并讲评。其中第3题学生可能会有两种解法：

法一：∵∠AOC与∠AOB互补

∴∠AOC=180°-∠AOB=155°

∵∠AOC与∠COD互补

∴∠COD=180°-∠AOC=25°

法二：∵∠AOC与∠AOB互补

又∵∠AOC与∠COD互补

∴∠COD=∠AOB=25°

问1：这两种解法你认为哪种比较好？

问2：在上述两种解法方法中，我们通过哪些方法找到的角与角之间的数量关系？

总结：做题之前，要先分析问题，选择恰当的方法解题。

设计意图：通过3个小题引导学生复习角的和差运算、余补角的概念、性质及简单的运用等知识。为接下来的问题探究提供模型和解题思路。其中，第3题通过对比这两种解法，引导学生从多角度思考问题，并能对不同方法进行评价，强化从已知条件出发探索出最优解的思维习惯。同时，也想通过第3题来引导学生从题目已给的条件当中寻找数量关系，也要懂得从图形中寻找隐含的数量关系。为本节课第二部分做铺垫。

三、 问题探究

例1 （1）如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处，找出图中以O为顶点的相等的角，并说明理由。

教学活动：问1：图中以O为顶点的角有哪些？

问2：请把这个情境中的几何图形画出来。

问3：这个图形你熟悉吗？是什么模型？

归纳：同角的余角模型。

设计意图：让学生动手拼凑、获得经验，再从实物中抽象出几何图形（如图5）发展数学抽象能力。

（2）①若∠AOC=130°，则∠BOD的度数是多少？

教学活动：问1：已知∠AOC=130°，你可以知道什么？

问2：∠BOD该如何求？

问3：如何把你的思维过程用符号语言描述出来？

设计意图：引导学生经历文字语言、图形语言以及符号语言的转化，从而逻辑推理过程用简洁的符号语言呈现出来;同时，再次引导善于从图形中寻找数量关系;此外，示范书写过程，对于学生在推理计算过程中出现的常见错误进行纠正。如直接写：

“∵∠AOC=130°，∴∠AOD=40°”等。

②若∠AOC=2∠BOD，则∠AOC、∠BOD的度数分别是多少？

教学活动：问1：题中没有告诉我们任何角的度数，只告诉了我们一些角之间的关系，这时该如何求角的度数？

问2：你能找出多少个本题包含角的数量关系？

列举出：∠AOC=2∠BOD;

∠AOD=∠BOC;

∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC;

∠AOD+∠BOD=∠BOD+∠BOC=90°等式子。

问3：从上述数量关系中，你发现了什么？（这些角之间两两相关，知其一而知全部）

问4：如果设其中一个未知角的度数为α，其他的角能用α表示出来吗？

问5：你认为设哪个角为α比较好？

归纳：当问题中的多个未知量两两之间有关系，往往可以考虑设其中一个量来解决。

设计意图：学生可能会设∠BOD或者∠AOD为α，都可以在图形上直观地用字母表示出它们的度数，这样数量关系就很容易找到了。最后对这两种方法进行评价，看哪种设法更简捷，并让学生反思为什么这里要考虑到设元，设元有什么好处？（直观，易于运算）

③从中，你发现了什么？并尝试证明。

教学活动引导归纳发现：∠AOC+∠BOD=180°。

設计意图：归纳出这个基本图形隐含的一般性结论，为后续解决更加复杂的几何问题做知识铺垫。

（3）当旋转其中一个三角板至如图6位置时，上述发现还成立吗？说明理由。

教学活动：问1：你认为上述发现∠AOC+∠BOD=180°此时还成立吗？你能模仿上述证明过程说明理由吗？

问2：证明两角之和为180°的途径有哪些？还可以借助什么模型来做？（提示：平角模型）

设计意图：尝试让学生小组讨论来解决问题，可以用上述方法论证，也可以用动态变化中变与不变量来解释。

变式：已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分线。

（1）如图7，当点C、E、F在直线AB的同侧时，试判断∠BOE和∠COF的数量关系，并证明;

（2）如图8，当点C与点E、F在直线AB的两侧时，（1）中的结论是否仍然成立，请给出你的结论，并说明理由。

教学活动：问1：对于问题（2），你能从中找到什么数量关系？

问2：这些数量关系中哪些是已知量？哪些是未知量？能够解决问题了吗？

问3：怎样设计解题思路才能最快得到答案？

设计意图：在例1的基础上，学生已经获得了一些探究问题的经验，也积累了一些几何背景下的运算技巧。这一变式的目的在于让学生自主探究，发展探究问题的能力。但是也要引导学生当探索未知的数量关系时，可以用特殊值代入来确定，把复杂问题简单化，再用设元的方法说明理由。通过及时训练，让学生学有所得，增强自信心。

四、 课堂小结

1. 我们可以从哪些角度入手寻找数量关系？

2. 当图形复杂时，该如何处理？

3. 当未知量很多，并且它们之间两两相关时，可以怎么做？

4. 猜想角与角的数量关系，可以怎么做？

设计意图：本节课在知识层面上以巩固为主，没有再学新的知识，是在学生初学几何时的一节复习巩固课，侧重点在于如何寻找图形和试题中所给的数量关系，并用简洁的符号语言呈现出逻辑推理过程。用几个问题带动学生回顾本节课所用的一些解题技巧，让学生理清自己的思维过程，促成对运算过程中优点或不足的深刻认识，对运算过程进行修正和完善，对今后解决类似问题的能力迁移，简缩思考时间，实现思想方法的提升。

五、 课后反思

（一）设计层次分明的教学内容有助于促进学生思考

循序渐进的思维活动有利于调动学生学习的积极性，让每个层次的学生都能够进行一定的思维活动，并得到一定发展。应关注每一个学生的课堂反应，鼓励所有学生参与课堂讨论活动，各抒己见，实现思维的螺旋式上升。

（二）设计主题明确的复习课教学活动

很多老师会采用做练习、讲练习的形式来组织复习，这样很容易出现满堂灌的情况，主题不明确，内容太多且不成体系导致学生接受不过来，同时对每个问题又都无法进行深入探究，这样的复习是比较无效的。本节课从最简单的余角、补角结构入手，后续的探究活动都在这个结构的基础上进行变式，整节课都在围绕引导学生关注从试题的文本以及图形两个维度寻找数量关系探究简洁运算方向这个主题展开。在这过程中，传达给学生探究问题的一般思路以及一些常用技巧，进而逐步发展学生的探究能力。

（三）尽可能使用同一几何背景下的题组或变式训练以提高课堂效率

对于几何背景下的探究问题，学生需要一定时间来熟悉图形，因此，在授课过程中尽量在同一个图形中设计探究问题，这样可以让学生省去不少审题的时间。本节课主要探究活动都是在一副三角尺的直角顶点重合在点O处的情境下展开的，每一小题都在上一小题的基础上展开，不断叠加其他技能，层层递进。这让每个环节的探究都有意义，寻找到学生的最近发展区，让学生在有限的时间内得到最大限度的提升。以题组的形式对基本图形进行分解或组合，引导学生借助基本图形寻找量之间的联系，实现运算、推理技能的自动化，从而能顺利向能力过渡。

（四）归纳基本图形的特征，加强几何直观

几何背景下的运算一定是与图形息息相关的，因此，我们需要逐渐培养学生试图画图的能力，在基本图形的基础上叠加条件，体会图形与技能的叠加。同时也要培养学生依据图形进行猜想和探索的意识。如本节课中的变式，首先引导学生猜想运用特殊值带入猜想两角之间的关系，再执果索因，明确运算方向，引导学生进行适当的逆向思考，也是发展能力的关键。

作者简介：邱萍，福建省厦门市，福建省同安第一中学。