对一道光学试题解析的探讨

◇ 广东 曹卫东

第29届全国中学生物理竞赛决赛中的光学试题的参考答案,多年来一直受到质疑,绝大多数物理竞赛参与者做出了不同于参考答案的解答．而笔者认为原参考答案是对的．本文通过分析试题中的光学原理,对试题参考答案进行论证,以纠正质疑者的错解．

原题如图1所示的光学系统由平行光管、载物台和望远镜组成.已知望远镜物镜L0的焦距为16.00 cm.在L0的焦平面P处,放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物,如图2所示.在载物台上放置双面平行的平面镜M,通过望远镜的目镜Le观察时,能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过L0折射、M反射、再经L0折射后在分划板上所成的十字像,十字像位于A点,与上十字叉丝线的距离为5.2 mm.绕载物台转轴(沿竖直方向)转动载物台,使平面镜转180°,此时十字像位于B点,与上十字叉丝线的距离为18.8 mm.根据以上情况和数据可计算出,此时望远镜光轴与水平面的夹角为______rad;据此结果,调节望远镜,使其光轴与载物台的转轴垂直.

图1

图2

平行光管由十字缝S和凸透镜L组成.去掉光学系统中的平面镜M,并用钠光灯照亮S.沿水平方向移动S,当S到平行光管中的透镜L距离为8.25 cm时,通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上,由此可以推知,L的焦距等于______cm.

将载物台平面调至与载物台的转轴垂直,在载物台上放置长、宽、高均为3.00 cm、折射率为1.52的分束棱镜abcd(分束棱镜由两块直角三棱镜密接而成,接触面既能透光又能反光)和待测凹球面镜O,O到L的距离为15.00 cm,并保证分束棱镜的ab面与图3中的XX′轴垂直、凹球面镜的光轴与图3中的XX′轴重合;再将望远镜绕载物台的中心轴转90°,如图3所示．向右移动S,当S移动的距离为3.75 cm时,通过望远镜目镜刚好能看清楚十字缝S的像成在分划板中心十字叉丝线上.试求凹球面镜的曲率半径.

答案0.037 5; 8.25; 47.74 cm(过程略).

常见错误解法很多竞赛参与者,对第一空做出了错解,其认为置物台上的双面平面镜随台面转动180°,成像位置发生变化,是因为双面平面镜镜面与竖直轴存在夹角σ,如图4,这一夹角即等于望远镜主光轴与水平面夹角．

图4

这是对整个成像原理理解不清所致的错解．

错误1:认为双面平面镜与竖直轴存在夹角σ,当置物台转动180°时,相应反射光线转过2σ．事实上,置物台转动180°,相当于反射面转过2σ,镜面法线转过2σ,反射光线将转过4σ．两次成像位置不同,正是因为这一夹角的存在导致的．

错误2:认为双面平面镜与竖直轴间存在的夹角,与望远镜主光轴与水平面的夹角相等．事实上,二者并无关联．望远镜主光轴与水平面的夹角,导致的结果是成像不在上十字叉丝处,而不是两次成像位置的不同．基于以上错解过程,笔者决定从成像原理的角度对该题进行详细分析,以纠正错解．

成像光路分析:图5为系统调试完成后,望远镜光轴水平,双面平面镜M竖直时的成像光路图．

图5

成像过程为:分划板处于望远镜物镜L0的右焦平面上．分划板下的十字物发出的光经望远镜物镜L0折射后,变为平行光;平行光经平面镜M反射后,再次经L0折射,成像在分划板的上十字叉丝处(图中两支特殊光线与主光轴成θ1和θ2,而且两角相等)．将平面镜M绕竖直轴转过180°,由于双面镜面竖直,故仍然成像在上十字叉丝处．

该题装置调试有两个异常:1)双面平面镜M不在竖直面上;2)望远镜L0的主光轴不在水平面内．

1)若望远镜物镜L0主光轴水平,但平面镜M与竖直轴存在小夹角δ.

如图6左图,反射光相对图5将向上转过2δ,成像点在上十字叉丝上方2δf0处(如图7右图A1点);当镜面转过180°,如图6右图时,反射光将向下转过2δ,成像点在上十字叉丝下方2δf0处(如图7右图B1点)．其中f0为望远镜物镜焦距．

图6 图7

由此得两次成像点A1和B1的距离Δh=4δf0.

修正方案:调整平面镜姿态,使其绕竖直轴转动180°前后,成像点位置重叠．

2)若平面镜M竖直,但物镜L0主光轴与水平方向成小角度σ.

如图8,平面镜M竖直放置,物镜L0主光轴顺时针偏过小角度σ,将导致分划板上的成像点上移．若就此,将平面镜M顺时针转过小角度σ,则L0主光轴和平面镜M垂直,相应成像点将移至上十字叉丝处．结合异常1)的分析,可知物镜L0主光轴偏离水平方向小角度σ时,分划板上成像点将偏离十字叉丝Δh′=4σf0;同理,若L0主光轴逆时针偏过小角度σ,将导致分划板上的成像点下移．

图8

修正方案:根据观察到的成像点相对上十字叉丝的位置关系,调整望远镜的方位,使得平面镜转动180°前后,成像点位置重叠在上十字叉丝处．

小结1)若双面平面镜M不在竖直平面内,将导致置物台转动180°前后,十字物在分划板上的成像不能重叠．2)望远镜物镜L0主光轴不在水平面内,将导致十字物在分划板上的成像偏离上十字叉丝．

由以上分析,试题正确解答如下:

置物台转动180°前后,像点分别落在A和B,参考异常1)的分析，AB间距Δh=(18.8-5.2) mm=4δf0, 由f0=16.0 cm,得平面镜M与竖直轴成δ=0.021 25 rad.

这一偏离,由望远镜物镜L0主光轴与水平面间夹角σ所致．h=4σf0,得σ=0.037 5 rad.

P在L0的焦平面上,S经L成像后,又经L0成像在分划板,表明S发出的光经L折射后,成为平行光束,故S位于L的焦点处．L的焦距f=8.25 cm.

S发出的光,经L、分束棱镜(折射)、凹面镜、分束棱镜(反射),成为平行光束,再经L0会聚在L0焦平面P．可知:分束棱镜折射成像在凹面镜焦点处．设凹面镜半径为R,依多次成像原理进行计算:u1=8.25 cm-3.75 cm=4.5 cm,得v1=-9.9 cm.