中学数学教育中的若干问题

摘要：教育改革进行了很多年，取得了很多成果，在新的历史时期，如何进一步深化基础教育改革？这是广为人们关心的问题。针对目前中学数学教育中存在的若干问题，从大众化教育与精英教育、数学史与数学课堂、模仿与创新、纯粹与应用、教材与教参、传统课堂与网络课堂以及师范教育与师资等若干方面提出一些值得思考的问题，并做初步探讨，期待能为数学教育改革与研究者及一线教师的教学提供一些可资参考的建议。

关键词：中学数学教育数学史网络课堂师范教育

本文写作过程中，广东省广州市执信中学张蜀青老师帮助整理了部分资料，特此鸣谢。

一、 引言

我们处在教育改革的滚滚洪流中，素质教育、数学文化、慕课、翻转课堂、现代化教育技术，改革理念与措施层出不穷！我们是否认真思考过：为什么要改革？基础教育存在的根本问题是什么？我们应该关注课堂教学中的哪些方面，是外在的形式还是内在的思想？

弗赖登塔尔是荷兰著名的数学教育家，在代数拓扑与李群方面有过重要建树，30岁左右便开始关注数学教育。他在数学教育方面的论著很多，其《作为教育任务的数学》一书中有一个重要的观点广为熟知：“数学教育是数学的再创造。”无独有偶，美国著名的物理学家、诺贝尔奖获得者费曼也说了一句脍炙人口的话：“我不能创造的，我也无法理解。”他们的话说明了什么？教育不是简单的知识传授，而是思想的传播与创造力的激发。

本文试图针对目前中学数学教育中存在的若干问题做一个初步的探讨，期待能为教学教育改革与研究者及一线教师的教学提供一些可资参考的建议。

二、 “阳春白雪”与“下里巴人”

阳春白雪与下里巴人本是战国时代的两支曲子，前者典雅高深，后者通俗易懂。后分别引申为高雅的文学作品与通俗的文学作品。两者针对的对象不同，无褒贬之分。

在我国，数学从来没有像今天这样，受到举国上下的关注与重视，大家都在高谈阔论数学与数学教育，对数学的热衷程度远超过20世纪80年代初的“陈景润时代”。不过，如今的“数学热”与那时有本质的不同，是从战略层面上的重视。

重视数学是个大好事，数学也的确应该被重视，它虽然不是万能的，但没有它却是万万不能的。然而，我们同时也应该清楚，作为战略层面上的数学，它注定是小众化的，不可能像万众创新、大众创业那样大家都来做数学。数学的功能大体可以分为两个方面：一是思维，二是运用。一个人一旦具备了数学思维与思辨能力，的确如虎添翼，受益终身。而从技术层面上看，很多技术研发的本质是算法的设计与运用。没有良好的数学思维能力与素养，很多事情确实做不了。当然，数学本身并不能带来经济效益，也不能带来科技产品，只有与其他领域相结合后才能看到它强大的威力！

我们知道，诺贝尔奖不设数学奖，但无论是和平奖、文学奖、经济学奖，还是物理学奖、化学奖、生理学或医学奖，没有一个奖项所在的领域缺过数学家。可见，数学具有相当的普适性。例如，罗素既是个哲学家也是个数学家，还是个文学家，他居然得了个诺贝尔文学奖！所以人们戏称：“没有得过诺贝尔文学奖的数学家不是个好的哲学家。”

面向普通大众的数学教育注定不可能是“阳春白雪”。从这个意义上说，数学教育应该分两个层次：一个层次是培养数学精英的“阳春白雪”，另一个层次则是面向普通大众的“下里巴人”。我们在强调数学重要性的同时也应该清楚，以数学研究与数学的深度应用为目标的数学教育必然是小众化的“阳春白雪”，大多数人应该接受的是“下里巴人”式的数学教育。问题是：谁来决定谁接受“阳春白雪”式的教育，谁接受“下里巴人”式的教育？如何实施？因为现实中，但凡有条件的父母都希望自己的孩子接受最优质的教育。我认为，最好的办法是降低日常教学的难度，加大高考试题的难度和梯度，尽可能杜绝单凭熟练度就可以得分的题目。同时，增加诸如AP课程（大学先修课程）的先修课，让有潜力的孩子学到更多更深入的数学——当然，不要让大多数孩子陪读。这并非什么创新举措。与西方不同的是，普通百姓不需要花重金进入私立学校读书，只要确有天赋，同样有脱颖而出的机会。当前，我们的优质教育资源毕竟是有限的，最终能进入“985”高校的学生不会超过5%。与其让所有孩子陷入白热化竞争的漩涡，不如通过自然淘汰的方式让真正优秀的孩子接受最好的教育。一些“漏网之鱼”进入普通高校后，还可以继续努力以求“翻身”。

三、 数学史与数学课堂

数学课堂有一种理念叫HPM。数学课堂结合数学史是个好事，但我们不能误解数学史在课堂教学中的意义与作用，特别是落实到实操层面时，不能把它看成简单的数学史实的介绍，以为这就是在普及数学思想或数学文化了。

（一） 数学史在数学教育中的意义

数学史在数学课堂教学中的意义何在？是简单地引入数学史以增加课堂的趣味性，还是将数学史融入课堂教学过程中以体现数学的思想性？这是判断课堂教学是“拼盘式”还是“融合式”的重要标准。所谓“拼盘式”，指的是教师在讲授数学概念或原理时也介绍点数学史，但两者是割裂的，数学史仅仅当成故事来讲;所谓“融合式”，指的是将数学史上一个概念或原理的产生过程再现出来，概念教学的过程就是历史展现的过程，二者合二为一，形成一个整体（也称之为“数学的再创造”）。然而，不是所有的教学都适合把历史真实重演一遍，教学也不必拘泥于历史的进程。教师熟悉数学史的目的和意义在于，可以抓住导致概念或原理产生的根本问题，并结合、参考学生的认知基础创设合适的问题情境来实现再创造，这才是渗透数学思想方法和文化的有效手段。

（二） 课堂教学不能离题万里

课堂教学引入数学史，并不意味着把数学课开成数学史课。例如教学复数概念，偏从数的起源讲起，洋洋洒洒讲了一堆自然数、有理数、实数、复数的历史，那就跑题了！复数就是复数，抛弃那个荒谬的方程x2+1=0是一个进步，但卡尔丹公式远远不足以成为复数存在的理由，它只不过让数学家们对一些现象疑惑不解而已。虽然很多数学家包括欧拉都使用过复数（因为用它做形式演算并不会导致矛盾），但复数作为一个不可思议的“怪物”，在它出现在卡尔丹公式后的200年中始终未能在数学界掀起大的波澜，远不像无理数、无穷小、集合论的出现曾翻腾起数学界的惊涛骇浪。为什么一个2的出现会惹出一场轩然大波，以至于让希帕索斯为之命丧大海，而虚数的出现并未令数学家们惊慌失措，他们依然故我，优哉游哉地沉浸在实数的优美世界里？因为数学家们意识到，几何与有理数之间存在着不可调和的矛盾，2动摇了神一般存在的毕达哥拉斯学派的信仰！而复数并没有导致数学的根本矛盾，现实中也找不到虚数的影子。数学家们好奇的并非是虚数是否存在，而是它为什么虚无缥缈却又可以参与正常的运算而不会导致矛盾？卡尔丹并不认为虚数是有意義的，他说：“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是既精致又不中用的。”笛卡儿更是不认同虚数，虽然他的坐标系换一种方式便可以解释复数。但大多数的数学家并不排斥复数，因为它有时的确可以解决问题，正如莱布尼茨所说，“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的-1的平方根”。如果我们对复数的引入仅仅停留在卡尔丹公式，不再跨越那漫长的200年，走进物理与几何的世界，就不可能真正懂得复数的意义与价值，以及它对数学、物理学产生的深远影响，也不可能清楚复数的四则运算是什么，而只能像卡尔丹们一样将它理解成纯粹的形式运算，更不可能了解此后为什么会出现四元数甚至八元数。

关于复数如何落实到教学的实操层面，可参见：曹广福，卢建川，沈威.问题驱动的中学数学课堂教学（复数与三角卷）[M].北京：清华大学出版社，2019。

四、 模仿与创新

模仿是学习的常用方法。在学习的某个时期，模仿可以提高学习的效率，有些课程（如外语）甚至只适合模仿，不能轻言创新。数学学习也需要一个模仿的过程。对于学习，若一味强调创新，那是不切实际的，也注定是低效率的。

很多年前读到一个留洋博士所写的关于他的孩子在国内外幼儿园学习绘画的不同经历。文章介绍说，他的孩子在国内的幼儿园学习绘画时，教师通常是拿一幅画挂在黑板前或者在黑板上临时画一幅画，然后让孩子们临摹。孩子们画好后问的第一句话一般是：“老师，我画得像吗？”他的孩子在国外的幼儿园学习绘画时，教师通常是给个主题，如要求画个太阳或画个鸡蛋，但并不给出示范。孩子们画好后问的第一句话一般是：“老师，我画得对吗？”

文章作者想表达的是，国人从小便习惯了模仿，模仿成了从古到今的传统。练毛笔字时要求人手一册字帖，照着帖子书写，看谁模仿得最像。这一传统一直沿袭至今，那些学毛笔字的人必定找一本甚至若干本字帖来临摹。

模仿对不对？是否必要？这个问题恐怕要一分为二地看。一个人如果连一点写字的基本功都没有，要靠自己摸索出一套写字的方式，恐怕有点强人所难。王羲之的行书自成一体，但如果没有早期的遍访名家名帖，大概很难悟出一套独特的书法。模仿对于初学者来说无疑是重要的，它是入门的捷径。但如果一个人始终停留在模仿的层次，没有自己独特的领悟与建树，哪怕最终模仿得惟妙惟肖，那最多只能称作模仿秀。

当然，有些东西只要能模仿出来也算不错。比如，一个人如果不是为了做书法家，能写得一手好字，让人赏心悦目，无论他的字像王羲之的行书还是颜真卿的楷书，都无伤大雅。只是，他可能永远成不了书法家，真正的书法家应该有自己与众不同的独特风格。

刷题本质上是一种模仿，模仿已有的解题方法，采用题海战术让那些解题方法烂熟于胸，正所谓“熟能生巧”。为了应付考试的刷题肯定是不可取的，但也不能矫枉过正，否认解题的重要性。

就数学教育而论，思想当然是最重要的，但思想需要载体，领会一种思想更需要载体，否则思想就变成了虚无缥缈、不着边际的夸夸其谈。比如，给学生讲微积分的奇妙，它奇妙在何处、如何体现，总得通过适当的例子来说明;而掌握一种思想更得亲自实践，看别人演示与自己实操是完全不同的，有时你听起来似乎明白的东西，真正做起来就一筹莫展了，这就是缺少实践的结果。

哈尔莫斯说过：“学习数学的唯一方法是做数学。”可见，错不在于做题，而是怎么做题。那种反反复复练熟练度的机械化训练固然不可取，但仅仅满足于听懂课、完成作业，同样不可取。这就好比少林寺里的和尚练扫地、担水功，那是一种基本功的训练。日后是练成真功夫还是花拳绣腿，全看基本功练得如何。抛开华丽的招式或抽象的外衣，剩下的就是最原始的基本功。

那么，怎么做题？做题与教学是一个道理。相对于很多新鲜名词来说，“探究式教学”是个比较老的概念，但实际的教学过程如何？看看教材、听听课，就知道了。探究式教学的功能是什么？在我看来，探究的目的无非是培养学生的直觉与思辨能力。思辨作为哲学层面上的概念，在科学研究中充当了十分重要的角色。然而，自从实验科学诞生之后，思辨就慢慢淡出了历史舞台。凡事皆实验，得不到实验证实或检验的东西很难被人接受，“伪科学”一词也随之而产生。当然，“伪科学”与“错误的理论”不能混为一谈：科学研究允许失败;但明知错误的东西还在广为传播，那就是伪科学了。

实验固然重要，但无论是什么学科，从产生到发展，都离不开直觉与思辨，直觉与思辨是创造的原动力。即使是科学实验，也不是盲目地实验，需要以直觉与思辨为基础。数学作为思维科学尤其离不开直觉与思辨。思辨能力来自对问题的不断深入剖析与辨别，思考、辨析的过程就是探究的过程。不少教师有此理念，但往往舍本逐末，或者分不清探究与验证之间的区别，将简单的验证或验算当成了科学探究。

关于什么是真正的探究，可参见：曹广福，张蜀青.问题驱动的中学数学课堂教学（理论与实践卷）[M].北京：清华大学出版社，2018。解题的道理是一样的，建立在思辨基础上而不是搜肠刮肚尋找现成方法的解题，正是激发创新能力的最好方式。在探究的过程中，直觉发挥了举足轻重的作用。从某种意义上说，直觉是创新的源泉，一个人如果领悟不到一件事物的本质，他就不可能创新，而这种领悟正是来自直觉。

五、 纯粹与应用

结合学生的生活、强调应用，似乎成了判断中学数学课堂是否合格的重要指标之一。然而，中学课堂中一些所谓的应用真的叫应用吗？

不妨以二次函数为例。这个内容初中、高中都会涉及，且来看几道中学的应用题。

题1已知桥的拱是抛物线，顶点离水面4米，水面宽2米，写出抛物线的方程。

这道题貌似结合了实际，但却是一种虚假的结合。如果把题目改成“已知抛物线的一条横截弦的长为2，顶点到横截弦的距离为4，求抛物线方程”，这两种表述有实质性差别吗？

题2向上抛一个铁球，铁球的高度与时间的关系为h（t）=30t-5t2，

请问：

（1） 铁球的高度能达到15米吗？

（2） 铁球的高度能达到20米吗？

（3） 铁球的高度能达到20.5米吗？

……

铁球的高度怎么来的？上述系列问题的逻辑层次是什么？

我们不妨重构类似的题型：

柯受良曾开车飞越黄河壶口瀑布，请你分析一下，柯受良在汽车飞越坡面的那一刻应该保持多少速度？坡面的坡度应该是多少？汽车落地时的冲量是多少？承受汽车冲力的垫子应该放在什么位置合适？

按理说，中学生学习了抛物线，又学习了自由落体，解决上述问题应该是小菜一碟。可学生真的都能解决吗？如果解决不了，那他学的就是无用的抛物线。

中学数学教学中，既要研究铁球高度函数的图像，又要研究铁球实际运动的轨迹，这是两个形状相似却意义完全不同的图像——前者毫无意义，后者才有重要的科学价值。可是，把两件事搅在一起，学生岂能不懵？

在一次访谈中，徐利治先生说：“数学教育不妨纯粹一点，可以完全从数学的角度进行数学教育。”他的意思是，过分强調应用往往会冲淡了数学自身的味道。从这个意义上说，徐先生的话有一定道理。

数学教育是否需要结合应用？这个问题恐怕不能一概而论。有些数学理论的产生原本与其他学科没有多大关系，完全出于数学内部发展的需要，这时非要与应用扯上关系，就有点牵强附会了。例如，集合论的产生源于微积分留下的问题，它与生活及自然科学并无直接关系，如何强化应用？但有些数学理论的产生源于现实与自然科学，对于这样的数学理论是否可以剥离促使它产生的背景就值得商榷了。例如，微积分与物理、天文有着深刻的渊源，微积分教育能剥离这个背景吗？如果剥离了这个背景，不仅会让原本生动的理论显得枯燥乏味，而且会使人产生空中楼阁的误解。

数学教育到底该强调什么？数学理论本身还是数学应用？也许有人认为，对于数学专业的大学生应该强调数学理论，而对于中学生与非数学专业的大学生则应该强调应用。在我看来，两者都有失偏颇。

从根本上看，数学教育不在于是否强调应用，而在于是否抓住了构建数学理论体系的真正问题。这些问题的出现也许源于数学内部的矛盾冲突，也许源于现实或自然科学的需要。为数学化而数学化，或者为实用化而实用化都是不可取的。因此，真正的数学教育应是围绕着促使概念、定理产生的问题展开，这种问题也许不是数学家当初建立某个概念、发现某个定理的原始问题，但它应该是教师（或教参编写者）通过合情推理而设计的真正有价值的问题

关于这个问题，可参见：曹广福，张蜀青.问题驱动的中学数学课堂教学（理论与实践卷）[M].北京：清华大学出版社，2018。。

遗憾的是，我们常常犯两个错误：一是走极端，片面强调某一个方面，这不是一线教师的问题，而是他们的指导者的问题;二是不伦不类的“生活化”“探究式”。

六、 教材与教参

基础教育一直在不断地改革，从新课标到新教材，不断推陈出新。对于新课标，过去一些院士有过讨论，认为理念是好的，争议之处在于内容以及课程的体系。其实最关键的问题有两个：一是教材编写，二是教参编写。

教材编写主要有两种方式。第一种是问题引导式，也就是针对每个章节的内容设置一些问题，通过这些问题，师生就能明白为什么要学习这些内容了。这种风格与斯图尔特（J.Stewart）的《微积分》颇为相似，但对编写者的要求比较高。第二种是回归传统式，按照“概念—定理—证明—例题—练习”的体例进行编写，既不扯问题情境，也不谈思想方法，让教材成为纯粹的知识载体，剩下的都交给教参与教师。这样的教材编写难度不大。不过，与其第一种方式做得不伦不类，不如回归传统，老老实实按数学内容的完整体系来编写。

教参对于教学具有非常重要的指导意义。拜读过一些教参，客观地说，有点差强人意，它们通常都是指出某节内容的重点、难点，至于某章节到底需要解决什么问题则避而不谈。在我看来，一本好的教参应该由这样几个部分组成：

第一，某内容大概需要多少课时。这是最基本的，当然不是最重要的，教师自己一般也都知道。

第二，某内容的重点、难点是什么。这个传统的教参都有介绍。

第三，某内容是为了解决什么问题。这是教参的核心与灵魂。如果是概念课，教参应该指出概念因为什么而产生;如果是原理课，教参应该阐明原理的科学价值以及原理产生的背景，换句话说，概念、定理的产生是为了解决什么问题？以便给教师的教学提供参考。以基本不等式为例。从方法论意义上说，基本不等式是线性与非线性之间的转换（算术平均是线性运算，几何平均是非线性运算）;从科学价值上说，通过基本不等式可以对代数式进行伸缩变换从而完成估计，无论是最值问题还是不等式的证明都是如此，这是一种重要的思想方法。诸如此类的内容，有哪本教参提及过？任何科学的产生都源于问题，课堂的核心应该是引导学生明白怎么去解决问题，在分析问题的过程中逐步建立概念与定理，问题正是在概念与定理的建立过程中解决的。数学与自然科学一样，是在不断解决问题的过程中形成的，再创造过程当然也应该是解决问题的过程。

第四，如何创建合适的问题情境。诚如弗赖登塔尔所说，“数学教育应该结合学生的生活体验与数学现实”，有了问题，还需要合适的情境，将问题嵌入到该情境中形成问题情境。因为数学家分析问题与解决问题的过程未必适合用来教学，教师需要将其转换成符合学生认知能力的过程。

第五，如何引导学生探究。现实中，误把验证当探究的情境并不罕见。验证与探究貌似有着相似的特征，但有着本质的不同。验证是在目标明确的情况下设法通过某种方式进行检验，而探究则是在目标不明确的情况下发现某种具有规律性的东西。以对数运算法则为例，中学教材给出了M与N各一组数，让学生计算lg（MN）与lgM+lgN，然后比较计算出来的这两组数。让学生比较这两个数，无异于已经告诉学生这两个数是有关系的了，那还探究什么？何况由于给出的不是特殊的数，学生得到的都是近似数，根本不可能看出两者之间的关系，最后还得教师牵强附会地“总结”出运算法则来。在这个运算法则的教学过程中，最重要的是学生能不能在教师引导下发现lg（MN）与lgM+lgN之间的内在关系。教师完全可以通过几组很特殊的数，如1亿乘10亿等的计算来比较，因为学生已经知道对数的概念了，很容易通过这个简单的计算发现lg（MN）与lgM+lgN之间的关系。在此基础之上，不妨像教材那样再给出几组稍微一般的数，让学生通过计算来比较两者是不是的确有这种关系，最后再给出证明。这才是探究式教学。

有了这样的教参，教师自己就能把自己培养成一个好教师。

七、 传统课堂与网络课堂

教育改革的一项重要内容是现代化教育技术的运用。与传统教学相比，网络教学效果到底如何？网络课堂真的可能取代传统课堂吗？如果师生有选择权，我相信，网络课堂永远无法取代传统课堂！课堂教学不只是单一的知识传授，它还包括很多很多。师生之间的一句对话、一个对视，教师的举手投足等在教育中都發挥着重要作用。教育不仅需要有声的语言，还需要一种无声的语言，这就是教师的肢体语言;感染学生的不仅有声音，还可能有形象与无形的气场。

对于同一门课程，不同教师的教学效果可能大不相同。从这个意义上说，优质资源的共享是值得提倡的，但这种优质资源只适宜作为常规教学的一种补充。一个教师能面对的学生毕竟是有限的，几十分钟的课堂主讲勉强可做，但还有许多教学环节不是网课能够完成的。我们不是一直提倡要以学生为主体，要以生为本吗？一个教师如果面对数以百计甚至以千万计的虚拟网络中的学生，还如何以生为本？还如何实行师生互动？教学水平再怎么高，他也难以胜任大规模的课堂教学，否则，那就不是教学，而是讲座！我们不应该将课堂教学与讲座、报告混为一谈，它们之间有着本质的区别。

话说回来，网络教学有没有存在的价值？不仅有，而且大有用武之地，主要表现在以下几个方面：

第一，可以作为传统教学的补充。正如学生在教材之外还可以参考其他书籍一样，学生在传统课堂之外还可以看看网络视频，让两者相互补充。

第二，建设课堂教学之外的网络资源，把学生从沉重的书包中解放出来。诚然，现阶段的条件还很难让每个地区的每个学生都能享受到这些资源。

第三，师生的课外交流。学生以往除了在课堂上、学校里，很少有机会及时与老师交流，通过合适的网络平台，可以留言或与老师在线交流。

第四，网络培训。利用网络平台开展大规模的师资培训，可以节省大量的人力物力。

第五，网络教学交流与研讨。各个学校经常进行一些课堂教学交流，但不同地区、不同学校教师之间的交流常常受到空间与时间以及经济水平等各种客观条件的制约，而一根网线便可以在任何地区、任何学校之间建立联系。

由此可见，教育资源网络化势在必行，但不应该是我们原先以为的那样。

八、 师范教育与师资

在高等教育改革大潮中，有一个领域多少处于比较尴尬的位置。师范院校朝综合化方向发展，评价指标也向综合性大学看齐，学科教育泛教育化，很多师范院校建了教师教育学院，各个学科便不再有师范专业，笔者以为，由此带来的危害是不言而喻的。

这里，并非指教育学、心理学不重要，而是它们在学科教育方面只具备宏观的指导意义，要真正搞好基础教育，就必须强化学科背景而不是淡化学科背景。尤其在中学阶段，教师没有厚实的专业基础与学科素养及眼界，很难想象他能把书教好！从这个意义上说，淡化师范院校的泛教育性质、强化专业基本功与素养的培养无疑是重要的。换句话说，我们不应该将专业人才培养与师范教育割裂开来，而应该合二为一，在强化专业基础的同时适当考虑教育基础。

在我看来，教育学、心理学对于小学教育或许是很重要的，但对于中学教育，它应该建立在坚实的专业理论基础之上，否则，它就是一个中看不中用的绣花枕头！

由此看我们的师资培训，也存在类似的问题。我们的国培、省培以及市培花了大量的人力物力，效果如何？有没有认真做过绩效评价？培训课程中有多少面向学科的专业基础性培训？对学员专业素养与眼界的提升有多大帮助？对他们日后的教学发挥了多少作用？有没有在学员中做广泛的调查研究？是否了解过学员们的需求？这些都是各级师资培训部门应该认真思考的问题。

九、 结语

教育是百年大计，关乎国家的未来，一个国家国民素质孰高孰低，科技实力孰强孰弱，无不取决于教育。数学作为重要的基础性学科，在培养人的综合素质、思维品质、创新能力等方面充当了无可替代的角色。因此，建立一个适合中国国情、科学合理的数学教育体系与高水平的师资队伍，是我们面临的重要任务。只有深入了解现行教育中存在的不足，才能真正清楚教育改革的方向，避免无的放矢。希望本文能为此发挥些许作用。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995.

[2]曹广福，张蜀青.问题驱动的中学数学课堂教学（理论与实践卷）[M].北京：清华大学出版社，2018.

[3]曹广福，卢建川，沈威.问题驱动的中学数学课堂教学（复数与三角卷）[M].北京：清华大学出版社，2019.

（曹广福，华南农业大学数学与信息学院教授，博士生导师。国务院政府特殊津贴专家。全国数学教育研究会副理事长。曾获教育部第一届高等学校教学名师奖和国家基础教育教学成果奖，入选国家“万人计划”领军人才教学名师。长期从事基础数学与数学教育研究。）