厘清圆中概念 明晰圆中定理

文 吴 璟

毕达哥拉斯曾说：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”我们研究了这个完美的图形后，会发现圆中概念和性质定理较多。下面，吴老师来帮助同学们厘清这些概念之间的区别和联系，准确理解相关知识。

一、弧、弦、圆心角和圆周角之间的关系

对于弧、弦、圆心角、圆周角等概念的理解，除了要对概念本身进行剖析外，还要将相关的概念进行对比，确定相互的联系和区别。

例1如图1，点I是△ABC的内心，∠BIC=126°，则∠BAC=____ °。

【易混点】内心、外心混淆。当点I是△ABC外心时，∠BAC与∠BIC是圆周角与圆心角的关系，此时∠BIC=2∠BAC；当点I是△ABC内心时，要利用内心是三个内角角平分线的交点进行计算。

解：∵点I是△ABC的内心，

∴IB、IC是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB。

∵∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=54°，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）=108°，

∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=72°。

例2在同圆中，都是劣弧，且，则AB与2CD的大小关系是（ ）。

A.AB＞2CD B.AB＜2CD

C.AB=2CD D.不能确定

【易混点】在同圆或等圆中，两条等弧所对的弦相等，从而误认为这样的倍数关系也是可以传递的。

解：取的中点为 E，连接 AE 和BE。

∴CD=AE=AB。

∵在△ABE中，AE+BE＞AB，

∴2CD＞AB。

故选B。

二、计算扇形的弧长和面积

求扇形的弧长和面积需要两个基本要素：圆心角度数和半径。所以解决此类问题的关键是找到弧所在圆的圆心，继而确定圆心角度数和半径即可。

【易混点】圆心定位错误，弄混圆心角或者半径。本题所对的圆心角不是∠ACB。由于为180°，所以连接AB，则AB是所在圆的直径。而AC=BC=2，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=2，故所在圆的半径为1，圆心角为180°。则

【正解】π。

例4如图4，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____。

【易混点】默认CF为角平分线。求弧长的关键是找出圆心角度数和半径。本题的圆心角为∠BCF，半径为BC=2，因此只需求出∠BCF即可。由正五边形的内角和得∠BCD=108°，而△FCD是等边三角形，所以∠FCD=60°，那么不难求出∠BCF。则