巧解四边形的面积题

文 秦建敏

不同的四边形面积有不同的求法。面对不同形状的四边形，我们可以巧妙地采取不同的方法来求它的面积。

例1如图1，在四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，DC=13，AD⊥AB，求四边形ABCD的面积。

【分析】看到四边形中含有一个直角，自然会联想到直角三角形面积的计算，故连接DB很容易计算出△ADB的面积。此时我们发现原四边形被分割为两个三角形，其中△ADB的面积容易求出，只要想办法求出△BDC的面积即可。仔细观察条件，易得△BDC的三边长，故而想到用勾股定理的逆定理判定△BDC为直角三角形，进而问题得到解决。

解：∵AD⊥AB，AD=3，AB=4，

∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BDC=6+30=36。

例2如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AD=3，BC=2，求四边形ABCD的面积。

【分析】当我们发现所给图形含有直角的时候，往往会想到用勾股定理，此时我们可以用分割的方法或者补图的方法产生直角三角形。连接AC，将四边形分割成两个直角三角形后，我们发现60°角这个条件被破坏了。于是，我们可尝试采取补图的方法，构造直角三角形来解决本题。

解：延长AB、DC交于点E。

∵∠D=90°，∠A=60°，

∴∠E=30°。

∵AD=3，BC=2，∠ABC=∠D=90°，

∴四边形ABCD的面积=S△ADE-S△BCE=。

例3如图3，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OC=4，抛物线 y=x2-2x-3经过A、B两点，抛物线的顶点为D。点E（在AB上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积。

【分析】面对函数中出现的四边形，我们往往用割补法来求它的面积。在割补的时候，我们常选择平行于坐标轴的线，因为这样可借助点的坐标来求相关线段的长度。

解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴D的坐标为（1，-4），

当x=4时，y=5，

∴B的坐标为（4，5），

同学们，当面对不同的四边形的时候，我们可以从不同的角度解剖它。既可以用公式直接求，也可以利用四边形本身的特征将四边形进行分割、补全，进而转化为三角形进行计算。