动态开放的四边形

文 陈迎迎

近几年的四边形考题多趋向于开放型，即答案不固定或条件不完备，需要我们做出判断加以说明，考查了我们对知识的灵活运用能力和综合分析能力。下面我们就以部分中考真题为例，探讨动态开放的四边形。

考点一、条件变化判断四边形的形状

例1（2018·吉林）在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F。

（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；

（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为_______；

（3）延长图1中的DE到点G，使EG=DE，连接 AE、AG、FG，得到图 2，若 AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由。

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEF=∠EFC，根据∠DEF=∠A，可得∠A=∠EFC，根据平行线的判定得出EF∥AB，判断出四边形ADEF为平行四边形；（2）根据中位线的定理得到DC，进而得到AD=DE，根据菱形的定义证明即可；（3）根据等腰三角形的性质得到AE⊥DG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可。

（1）证明：∵DE∥AC，

∴∠DEF=∠EFC。

∵∠DEF=∠A，∴∠A=∠EFC，

∴EF∥AB，

∴四边形ADEF为平行四边形。

（2）解：∵点D为AB中点，

∵DE∥AC，点D为AB中点，

∵AB=AC，∴AD=DE，

∴平行四边形ADEF为菱形。

（3）解：四边形AEGF为矩形。

理由：∵四边形ADEF为平行四边形，

∴AF=DE。

∵EG=DE，∴AF=EG。

又∵AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形。

∵AD=AG，EG=DE，∴AE⊥DG，

∴四边形AEGF为矩形。

考点二、尺规作图判断四边形的形状

例2（2016·江苏盐城）如图3，已知△ABC中，∠ABC=90°。

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）。

①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；

②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；

③连接DA、DC。

（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由。

【分析】（1）①利用线段垂直平分线的作法得出即可；②利用射线的作法得出D点位置；③连接DA、DC即可求解。

（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案。

解：（1）如图4所示。

（2）四边形ABCD是矩形。

理由：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，∴BC。

∵BO=DO，AO=CO，

∴AO=CO=BO=DO，

∴四边形ABCD是矩形。

考点三、折叠后判断四边形的形状

例3（2019·山东滨州）如图5，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG。

（1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积。

【分析】（1）翻折前后对应边和对应角的相等为菱形的判定提供了条件，本题可得∠BEC=∠BEF，FE=CE；又由FG∥CD得∠FGE=∠CEB，FG=EF=EC，可得四边形CEFG为菱形。

（2）根据勾股定理可求出AF=8，则DF=2，设EF为x，则DE=6-x。在Rt△DEF中，利用勾股定理即可求出EF，从而得出面积。

（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，

∴∠BEC=∠BEF，FE=CE。

∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，

∴∠FGE=∠FEG，

∴FG=FE，∴FG=EC，

∴四边形CEFG是平行四边形。

又∵CE=FE，

∴四边形CEFG是菱形。

（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，

∴AF=8，∴DF=2。

设EF=x，则CE=x，DE=6-x，

∵∠FDE=90°，∴22+（6-x）2=x2，

考点四、四边形中确定点的位置

例4（2019·江苏连云港）如图6，在△ABC中，AB=AC。将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O。

（1）求证：△OEC为等腰三角形；

（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形？并说明理由。

【分析】（1）由平移得∠B=∠DEC，由AB=AC 可 得 ∠B=∠ACB，所 以 ∠ACB=∠DEC，得△OEC为等腰三角形。

（2）要判定E在什么位置，我们就要“执果索因”画出矩形AECD，再结合图形逆向推导出需要增加的条件，即可找出E为BC的中点。

（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB。

∵△ABC平移得到△DEF，

∴AB∥DE，∴∠B=∠DEC，

∴∠ACB=∠DEC，∴OE=OC，

∴△OEC为等腰三角形。

（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形。

理由如下：

∵AB=AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC，BE=EC。

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE∥AD，BE=AD，

∴AD∥EC，AD=EC，

∴四边形AECD是平行四边形。

∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形。