小议一道数学题中蕴含的多种数学思想方法

张彦荣

摘 要文章通过对一道简单数学题的五种解法中所蕴含的数学思想方法进行详细阐述后指出，在中小学数学教学中，教师必须重视和加强对学生数学思想方法的渗透与培养，使得学生更加深刻地领会数学所包含的思想方法以及由此形成的数学知识体系，切实加强学生的创新和实践能力。

关键词数学思想方法;渗透;重要性

中图分类号：O552.2 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2020）10-0163-01

数学思想方法，就是运用数学知识分析问题和解决问题的观点和方法，这是数学的灵魂。数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓，它对数学教学具有绝对性的指导意义。在数学教学中，要结合实例挖掘、揭露其思想方法，加深学生对思想方法的理解和认识，使其领悟思想方法实质，不断提高解题能力和纠错能力。

例：已知有103个苹果，分别用大小不同的两种箱子装，大箱装12个，小箱装5个，要刚好装完，问各需大箱和小箱多少个？

解法一﹑（统计思想）不妨拿103个苹果模型和足够多的大小箱子，对103苹果模型进行装箱，在通过此法把103个苹果模型进行大小箱装配时，统计每次装配的过程和相关数据，看是否存在一种配置结果使得103个苹果模型恰好装完时所装大小箱也恰好装满，即所谓的最优配置，从而得到结果。

解法二、（化归思想）对于5，12这两个数，不妨先算出5，12两数之积（也就是5和12的最小公倍数）与之和。

5 12=60，5+12=17。

再观察60，17，103这三个数，可以发现60+60-17=103，即（5×12）+（12×5）-（5+12）=103。

因此，我们可以这样解释这道题：⑴先另外从别处借来17个苹果，这时总共有苹果120个;⑵再对120个苹果进行装箱，很容易知道需大箱5个，小箱12个时，120个苹果恰好装完;⑶最后把借来的17个苹果再还回去。借来的17个苹果恰好能装一大箱和一小箱，所以，归还的时候只需拿走大小箱各一个，即5-1=4（箱），12-1=11（箱）。

此种解法真可谓“有‘借有‘还，再‘解不难”。

解法三、（转化思想）不妨设需大箱 个，小箱 个时，103个苹果恰好装完，则可得 。其中对于数  来说，其个位数为5和0，对于数  来说，其个位数为0、2、4、6、8，数103个位数是3，而8+5=13，数13个位数也恰好是3。所以对于 只能取奇数（如1，3，5，7，9，……），对于 只能取个位为4的正整数（如4，14，24，……），然而又要求 ， （ ），所以 只能取4，进而得 。

解法四、（方程思想）定义[1]形如 的方程叫做二元一次不定方程。

一般地，方程的个数少于未知元个数的方程叫做不定方程。

求二元一次不定方程整数解的方法较多，这里只介绍一种常用的方法（逐步取整法，就是通过逐步缩小未知系数的绝对值来求出方程的整数解），以本题所列方程为例（ ）。求方程 的正整数解。

解法五、（函数思想）对于解法四中的方程 ，可将其转化为 ，很明显这是一个一次函数，那么就能画出这个函数的图像。根据题意及函数的相关知识可知如果能在函数图像上找到满足一定条件的点（ ， ），问题就解决了。而对于点（ ， ）必须满足纵横坐标都是正整数（即 ），所以就要描出平面直角坐标系中第一象限中的格点（所謂格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点，又称整点。）再观察哪些格点在函数图像上。根据以上描述，画出图形，这样便能很直观地从图形中得到答案。

从以上的五种解法中可以看出，一道简单的数学题中蕴含了统计思想，化归思想，转化思想，方程思想，函数思想。这是一道培养学生数学思想方法的好题，在讲解时一方面要通过解题和反思活动，从具体数学问题和例题中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想;另一方面在解题过程中，要充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。

总而言之，数学思想方法是人类智慧的结晶，学习数学的思想方法能够使我们更加深刻地领悟到数学的美，从而更加自由地在数学王国中扬帆前行。然而在实际教学过程中，学生虽然做题不计其数，教师对学生的训练也非常到位，可是在总结数学思想方法这一块还是有所欠缺，课堂上经常使用的是精讲多练的方法，殊不知忽略了数学思想方法的渗透，从而导致学生有的时候只知其然而不知其所以然。因此，在中小学数学教学过程中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。

参考文献：

[1]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]孙安成，陈伟康.一道数学题解法中蕴涵的数学思想方法[J].浙江教学研究，2008（5）：26-27.

[3]黄少武.浅谈初中数学思想和方法的教学[C]//2007.