大学数学深度学习过程的一般模型研究

王 培

（南京大学金陵学院基础部 江苏·南京 210089）

0 前言

人类进入信息时代，信息技术的快速发展和广泛、深入的应用，正以惊人的速度改变着人类的生产方式、学习方式和思维方式。传统教学秉持的“授受主义”正在被一种以学习者体验为中心的新学习模式所取代，索耶称之为“深度学习”。它在知识建构、知识的理解、知识间的贯通和知识的运用方面都提出了更高的要求，对学习者和教师来说是机遇也是挑战。1976年，瑞典哥德堡大学学者Ference Marton和Roger Saljo在对大学生的阅读实验研究中，首次提出深度学习这一概念。国内对于深度学习的系统研究起步较晚，黎家厚教授是最先介绍深度学习概念的国内学者，他认为深度学习指学习者在理解的基础上批判性学习新的思想和知识，将它们与原有的认知结构相融合，实现众多思想相互关联并迁移已有知识到新情境，是做出决策和解决问题的学习。近几年，深度学习已成为教育研究领域的一个热门话题，国内学者和一线教师正越来越多的关注深度学习的教学研究。

1 大学数学深度学习的必要性

高等院校数学教育的任务包括基本知识的传授、自学能力和创造性思维能力的培养以及应用数学思想和方法解决实际问题能力的培养，全面提高学生的数学素质。数学素质是指人们认识和处理数形规律、理解和运用逻辑关系、领会和研究抽象事物的能力，是一种思维模式和思维习惯，其外在表现就是人们对事物从量的方面进行观察和研究的能力、思维的逻辑性和严谨性及应用数学方法解决实际问题的能力。下面将大学数学教学现状作以下分析：从思维能力看，统一标准化的授课模式过于强调学习大学数学的具体知识，至于学生如何主动思考和运用这些知识解决实际问题却考虑较少，学生学习思维仍停留在低阶思维阶段；从学习行为看，学生习惯了知识的灌输，学习方式被动，主动探究性不够，学习目标停留在理解和记忆知识；从知识内容看，相比于知识的质来说，更注重知识的量。大学数学课程知识量大，学生负担沉重，认知负荷超载。教学内容拘泥于概念、定理和公式等“平板”化知识的堆砌，而非根植于文化、社会且与其他新兴学科相结合的“立体”化知识，学生很难实现知识迁移。从认知层面看，学生更倾向于学习简单直观的知识，因为缺少相关的思维训练，学生对于相对复杂和抽象的知识很难接受，甚至有畏难情绪。

深度学习能力是指学生在学习过程中进行独立思考和合理质疑，与教师、同伴有效沟通并合作，开展持续性自我反思监控，在理解知识的前提下进行知识迁移及应用的能力。深度学习能力的提高能够有效提升学生的数学素质，拓展学生的思维方式，有助于学生适应快速发展的学习型社会的需求，跳出复制知识型学习的窠臼。同时深度学习将教师对课程设计的思考提升到一个新的高度，它能够提高高校办学质量，促进高等教育的发展。因此从高等院校数学教育的任务和大学数学教学现状来看，提高大学生深度学习能力、促进大学数学深度学习的发生刻不容缓。

2 大学数学深度学习的目标

深度学习是以自主学习为载体，以高阶思维为核心特征，以多元化学习策略为支撑，以有效迁移应用为主要目的的有意义的学习方式。大学数学深度学习的目标就是引导学生从数学符号和概念的学习向理解和掌握数学学科思想和意义、提高数学学科素养的高阶学习目标转换，是认知深度与广度的提升。我们将大学数学深度学习的学习目标通过以下四个方面实现。

（1）知识结构的改变。知识结构从离散点状结构向立体网状结构提升。一直以来，大学生的数学知识分布多是成呈点状或线性的结构，这种知识结构不利于学生提取知识、进行知识整合和有效的实现知识迁移。深度学习要求学生厘清知识点之间的关系，建立新旧知识点之间的联系，拓展知识的深度和宽度，通过深层次加工建立知识点之间的层级关系形成知识网络，将知识结构提升为立体网状结构，网状知识结构有利于知识的保持性和迁移性。

（2）学习行为的转化。学习行为由被动接受式学习向合作探究式学习转变。学生在课堂上习惯处于盲目接受知识的地位，学生学习是一种孤军奋战、独善其身的行为。深度学习要求学生从被动理解、接受知识转变为主动批判、学习知识，帮助学生从被动学习向自主探究、构建知识过渡，同时增加师生之间和生生之间互动，形成平等民主的师生关系和融洽互动的生生关系，提高学生的沟通表达和互助合作的能力。

（3）思维能力的转型提升。思维能力从记忆、复述等低阶思维能力向批判性思考、迁移、运用等高阶思维能力转化。安德森等在布卢姆教育目标分类的基础上，将认知目标分为记忆、理解、应用、分析、评价和创造，其中记忆、理解与应用属于低阶思维范畴，分析、评价和创造属于高阶思维范畴。现阶段大学数学学习过程中，大部分学生都是直接套用公式、定理或已知结论来解决问题，很少对问题的由来或该知识点如何应用进行深入思考并提出质疑。深度学习要求大学生在理解性学习的基础上，具备批判性的高阶思维，通过整合、联想、类比将新的知识融入原有知识体系，提高思维能力。

（4）认知层面的拓展延伸。认知层面从简单具象向复杂抽象拓展延伸。初等数学知识简单且具象，学生容易理解和把握。进入大学阶段学习高等数学时，学生思维方式没有经过锻炼，认知结构未做相应的调整，学生常常感到大学数学的知识点抽象、晦涩难懂，学习起来力不从心。数学学科的发展实际上就是不断地抽象和概括的过程。在2015年出的第7版《儿童心理学及发展科学手册》（国际儿童心理学研究领域的重要参考书之一）中指出大学本科教育的重点是着力培养学生的系统抽象思维能力和形成自我抽象原则能力，大学本科教育一定要抓住学生抽象思维高度发展的窗口期，提高并延伸学生的认知层面，为学生提供一个看待世界的全新视角。

3 大学数学深度学习的学习模型

大学数学教育不是在问题和答案之间建立简单的对应关系，而是帮助学生提高数学思维品质和学习效能。为了实现大学数学深度学习的四个目标，我们将大学数学深度学习整个过程分为三个阶段：探究阶段、应用阶段、拓展阶段（图1）。

探究阶段是理解批判性的学习知识的阶段。首先，学生需要明确自己的学习目标，以学习目标为导向开展学习活动。信息时代，学生需具备从众多信息中快速获取有用信息的能力，将获取的信息转化为数学知识，学生需抱持批判和怀疑的态度进行知识储备，积累事实性知识和概念性知识，并处理好两者间的平衡关系，形成良好的知识结构。

图1

应用阶段是信息整合和知识构建阶段。通过对知识批判的分析和理解，学生对获取的信息进行整合、抽象、概括，通过互动讨论和分析概括建立前概念和新的数学知识之间的联系，改造和重组原有经验，将新的数学知识纳入原有的认知结构中去，将知识结构提升为网状结构，完成新旧知识经验间的双向建构，实现知识的顺应与同化。深入思考，主动提取知识和应用知识，通过反思，促进学生对知识深层次的理解。这样的循环过程，使得学生学习行为从接受式学习向探究式学习转化，有助于进一步的科研创新。

拓展阶段是指学生在已有知识结构的基础上理解深层次的数学知识，形成独立的认知结构体系，提升思维能力，将数学知识迁移至其他学科领域。此阶段分为三个层次，首先，学生不仅要掌握概念、定理等结构化知识，还要理解深层知识、复杂概念等非结构化知识，通过类比，完成知识的内部关联迁移。其次，学生尝试在学习和生活过程中发现新问题，学会用数学语言和方式刻画描述大脑中的实际问题，对知识进行深度加工，将需要解决的问题转化成数学模型，即从学习具体的数学知识向建构抽象的数学模型转化。最后，通过联想，完成知识的外部拓展迁移。建立数学知识与不同学科间的联系，分析判断在新情境下应用知识时所需条件的差异，将所掌握的数学知识和相关数学模型完善拓展并应用于其他学科领域，实现创新运用，即数学知识的有效迁移和数学思维的迁移运用。比如我们可以利用概率论中隐含马尔科夫链模型用于解决语音识别、天气预报、股票预测等问题；将布尔代数与计算机知识相结合，解决信息搜索问题；将余弦定理用于新闻分类等等。帮助学生以更广阔的视野看待数学问题，实现认知层面的提升。

4 结语

随着人工智能、大数据等新一代信息技术的迅速发展，人类进入了知识经济时代，对数学知识的要求越来越高。对大学生而言，知识复制性的浅层学习已经不能适应高速发展的社会，因为知识经济时代需要的不是墨守成规的执行者，而是能够创新、解决复杂问题并用复杂概念创造新理论的人。深度学习可以帮助学习者实现理解和创新性学习，知识经济时代的来临成为进行深度学习的根本原因。如何才能更好的促进大学数学深度学习的发生，教师仍需要在教学过程中不断的探索、实践、反思和总结。