活跃在竞赛中的构造局部不等式法

安徽省芜湖市无为县第三中学城北校区(238300) 朱小扣

笔者发现构造局部不等式在证明竞赛题与数学通讯等期刊的征解题中有着重要的作用,本文将从四个角度去构造局部不等式,以期抛砖引玉.

一．利用切线法构造局部不等式

例1(2015年安徽省初赛第9 题)设正实数a,b满足a+b=1.求证:

证明易知处的切线方程是y=2−x,故只需证

①+②即证.

用切线法可以解决很多题目,如数学通讯问题332:

例2(数学通讯问题332)已知正数x,y,z满足xy+yz+zx≤3,求证:

证明先证:

注意到

故①成立.同理:

①+②+②得:

令a=xy,b=yz,c=zx,则问题转化为在:a+b+c≤3的条件下,求证:

由切线法得只需证:

由于4 ≥(1+a)(3−a)⇔(a −1)2≥0,故④成立.同理:

④+⑤+⑥得:

故原命题得证.

二．利用割线法构造局部不等式

例3已知a,b,c ∈R+,a+b+c=1,求证:

证明可知在(0,1),两点的割线方程是故只需证在(0,1)上恒成立即可.由于

当0< x <1 时恒成立,于是,即证.

上述例题用割线法可以很快解决,又如数学通讯问题399:

例4(数学通讯399 问题)已知∆ABC,记BC=a,CA=b,AB=c,求证:

证明由于不等式是齐次的,可设a+b+c=1,因为三角形任意两边大于第三边,故a,b,.原命题等价于:当a,b,时,求证:

令

故上述不等式成立.于是,

三式相加得:

即

故原不等式得证.

三．利用均值不等式构造局部不等式

例5已知正数x,y,z满足x+y+z= 1,求证

证明由得:

同理可得:

故只需证明:

事实上,

故原不等式得证.

例6(数学通讯398 问题)已知正数a,b,c满足a+b+c≤12,求证:abc≤2a+5b+10c.

证明记S=2a+5b+10c,以下证明:

当且仅当a=5,b=4,c=3 时取等号即证

本题证明是笔者采用文[2]中类似的构造方法写出来的,令人疑惑的是为什么这样构造局部不等式,原因如下:

先猜想当a=5,b=4,c=3 时取等号,于是配凑:

此法还可以解决很多类似的题目.

四．利用支撑函数构造局部不等式

例7(数学通讯390 问题)已知正数a,b,c,d且满足abcd=1,求证:

证明尝试构造支撑函数:由

令

则

易得f′(1)=0,

而

故可得:

于是,f′(x)单调递减,由f′(1)= 0 易得,当x ∈(0,1)时,f′(x)>0,x ∈(1,+∞)时,f′(x)<0.从而f(x)≤f(1)=0,即证①式.于是,

四式相加,即证.

此种方法有别于切线法的“以直代曲”,这是“以曲代曲”,又如:

例8(2004年波兰奥林匹克)已知正数a,b,c且满足a2+b2+c2=1,求证:

证明尝试构造支撑函数:.由

以下证明:

注意到

故①式恒成立,从而

三式相加,即证.

类似地,还可以解决很多不等式竞赛题,如:2005年摩尔多瓦竞赛题等.

五.总结

以上阐述了四种构造局部不等式证明试题的方法,正是“花开四朵,各自妖娆.”当然,能用构造局部不等式去证明的题目可能远不止这四种,希望大家能继续研讨升级.