浅谈变式与建模思想在方程解决实际问题中的应用

战艳芝

摘  要：初中数学课堂都是以学生熟悉的问题为背景设计问题，同时引导学生积极思考、认真探究。基于初中数学的学科素养，锻炼以及培养学生的自主学习能力。形成一个以学生为主体的课堂。教师通过用变式课堂让学生对用方程解决实际问题产生兴趣，激活学生的思维，创造性的解决问题，发现解决问题的方法，建立数学模型，提高学习效率。

关键词：变式;方程;建模;实际问题

在日常教学中，我们需要解决地实际问题有很多，需要借助数学知识来解决。方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具。作为教师应该充分发挥聪明才智，发现课本以及练习册习题的丰富内涵，对教材中的习题从题设，结论等多方面挖掘，变式为新的问题，引导学生进行探究、发现学习，让学生感受知识的生成和发展过程，对每一类问题形成一个解题的模型。本文结合数学教学中用方程解决实际问题的教学实例[1]，探讨初中数学教学中变式教学以及建立数学模型的重要性。

一、用方程解决实际问题的变式

配套问题是人们生产和生活过程中最常见的问题，我们要借助方程思想来解决实际问题。“正好配套”的含义是：两种总量存在着倍数关系，这个关系是列方程所用到的等量关系。

1.教材例题分析

〖例〗某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

此题的关键是“1个螺钉配2个螺母”，根据1：2的比例列出方程。

通过分析得出关系式：

（1）生产螺钉的工人人数+生产螺母的工人人数=22名

（2）螺钉的总个数：螺母的总个数=1：2（螺钉的总个数×2=螺母的总个数×1）

①用一元一次方程解题：用第一个关系式设未知数（设一个未知数），第二个关系式列方程。

解：设应安排生产螺钉的工人 名，安排生产螺母的工人 名。

根据关系式列出方程

②用二元一次方程组解题：设两个未知数，把两个关系式用未知数表示出来。

解：设应安排生产螺钉的工人 名，安排生产螺母的工人 名。

根据关系式列出方程组

2.在实际应用问题中的变式

〖变式1〗某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么怎样安排人员正好能使挖的土及时运走？

该题没有明确说出配比关系，需要自己分析。该题的关键在于“正好能使挖的土及时运走”，实际隐含条件配套比例是1：1。

通过分析得出关系式：

（1）挖土的人数+运土的人数=48人

（2）挖土的量：运土的量=1：1（挖土的量=运土的量）

①用一元一次方程解题：

解：设安排挖土的的人员为 人，安排运土的人员为 人。

根据关系式列出方程

②用二元一次方程组解题：

解：设安排挖土的的人员为 人，安排运土的人员为 人。

根据关系式列出方程组

〖变式2〗某服装厂要生产某种型号的学生校服，已知3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存这种布料600m，应如何分配布料做上衣和裤子才能恰好配套？

该题的比例明确是1：1，但题目中的“3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条”和基础的配套题有差别，需要学生自己分析。基础的配套题都是一人一天做多少工作或者是1m能做多少。我们可以分析出“1m长的某种布料可做上衣 件或裤子1条”

通过分析得出关系式：

（1）做上衣的布料+做裤子的布料=600m

（2）上衣的件数：裤子的件数=1：1（上衣的件数=裤子的件数）

①用一元一次方程解题：

解：设分配 m布料做上衣， m布料做裤子。

根据关系式列出方程

②用二元一次方程组解题：

解：设分配 m布料做上衣， m布料做裤子。

根据关系式列出方程组

〖变式3〗某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉，现共有面粉4500kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？

该题的关键在于“每盒中装2块大月饼和4块小月饼”，分析得出配套比例为2：4。在题目中我们需要得出1kg面粉可以做多少块大月饼或者小月饼，所以在分析和列方程的过程中需要用制作大月饼的面粉量÷0.05得出大月饼的总块数，用制作小月饼的面粉量÷0.02得出小月饼的总块数。

通过分析得出关系式：

（1）制作大月饼所需面粉+制作小月饼所需面粉=4500kg

（2）大月饼的块数：小月饼的块数=2：4（大月饼的块数×4=小月饼的块数×2）

①用一元一次方程解题：

解：设制作大月饼应用 kg面粉，制作小月饼应用 kg面粉。

根据关系式列出方程

②用二元一次方程组解题：

根据关系式列出方程组

二、建模思想

通过以上例题及变式题的分析，配套问题首先要在题目中找出配套的比例关系以及人数或者材料的总数关系。然后设未知数或者列方程组。

配套问题中的人数或材料总量分为两部分，在这里即为①和②。

1.用一元一次方程解决配套问题的模型（设一个未知数）

最后列出方程等式：

×①每单位完成的工作量×②的比例=（总数- ）×②每单位完成的工作量×①的比例

2.用二元一次方程组解决配套问题的模型（设两个未知数）

设分配给①的数量设为 ，分配给②的数量设为 。

根据两个关系式列出方程组：

三、结语

我们可以得知在數学教学过程中，我们的练习题可以一题多解，同时一类题型可以总结出一种解题方法，即多题一解，也就是对同一类题可以建立数学模型。总之，教师应该立足课堂，精心设计练习，多做变式练习。让学生能自己抓住问题的特点，分析其数量关系，建立该类题型的数学模型，从而提高数学课堂的教学效率，培养学生解决实际问题的能力。

参考文献

[1]  林大鹏.基于建模思想的“列方程解决实际问题”的教学与思考[J].小学教学参考，2013（26）：40.