“平方差公式”小故事

文胡新宇

从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给佃户张老汉。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧。”

回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊。

同学们，请问张老汉真的吃亏了吗？

我们不妨动手来算一下。

如图1所示，边长为a的大正方形，是张老汉之前租的土地，该土地面积为a2。根据地主的建议，把这个大正方形的一边增加5米，另一边减少5米，则这块地变成了以a+5和a-5为两边的长方形，如图2中红色部分所示，该长方形的面积为（a+5）（a-5）。

讲到这里，学过平方差公式的同学一定能一眼看出来哪块土地的面积大。

因为（a+5）（a-5）=a2-52，所以大正方形的面积大。最终的土地少了25平方米，张老汉真的吃亏了。

我们再来看，图2中的红色部分其实是图1中的哪部分面积呢？通过面积割补法，一目了然。如图2，大正方形内去掉一个边长为5的小正方形，剩余部分的面积a2-52就是地主最终租给张老汉的土地面积。

其实，通过面积割补法，我们再一次证明了a2-52=（a+5）（a-5）。

对于平方差公式，大家都不陌生，但你会利用平方差公式算平方吗？比如，计算2972的值。

在古希腊，有一种古老的方法：a2=（a+b）（a-b）+b2。古希腊人重视数学，研究了许多计算技巧，他们用上式来简化计算。

2972=（297+3）（297-3）+32

=300×294+9

=88209。

同学们，在初中数学中，平方差公式是重点知识，其中所蕴含的化归思想、换元思想等数学思想是深入研究各类数学知识的基础，在以后的学习中，你会慢慢体会到的。