“整式乘法与因式分解”中考题例析

文倪 波

整式乘法与因式分解是互逆的两种变形，因式分解是建立在整式乘法和乘法公式基础之上的。它们既有区别又有联系，是初中数学最重要的恒等变形之一，也是中考考查的重要知识点。

考点1 整式乘法

例1 （2017·四川南充）下列计算正确的是（ ）。

A.a8÷a4=a2B.（2a2）3=6a6

C.3a3-2a2=a D.3a（1-a）=3a-3a2

【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法、积的乘方法则逐一计算，作出判断：A中原式=a4，此选项错误；B中原式=8a6，此选项错误；C中3a3与 2a2不是同类项，不能合并，此选项错误；D选项正确。故选D。

考点2 整式的混合运算

例2 （2017·湖南怀化）先将下列代数式化简，再求值：（2a-1）2-2（a-1）（a+1）-a（a-2），其中

【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则将原式化简后，再将a代入求值。

解：原式=4a2-4a+1-2a2+2-a2+2a

=a2-2a+3。

考点3 乘法公式的几何背景

例3 （2017·浙江衢州）如下图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ______。

【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键。

解：拼成的长方形的面积=（a+3）2-32=（a+3+3）（a+3-3）=a（a+6）。

∵拼成的长方形一边长为a，

∴另一边长是a+6。

考点4 因式分解的意义

例4 （2014·安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）。

A.a2+1 B.a2-6a+9

C.x2+5y D.x2-5y

【分析】本题考查了因式分解的意义。把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键。A、C、D都不能转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；B是完全平方公式的形式，故B能分解因式。

考点5 分解因式

例5 （2019·山东潍坊）下列分解因式正确的是（ ）。

A.3ax2-6ax=3（ax2-2ax）

B.-x2+y2=（-x+y）（-x-y）

C.a2+2ab+4b2=（a+2b）2

D.-ax2+2ax-a=-a（x-1）2

【分析】分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察式子是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

选项 A：3ax2-6ax应分解为 3ax（x-2）；选项 B：-x2+y2应分解为（-x+y）（x+y）；选项C不能分解因式；选项D正确。

考点6 因式分解的应用

例6 （2018·四川成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为________。

【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值。

解：已知x+y=0.2，x+3y=1，则2x+4y=1.2，x+2y=0.6，所以x2+4xy+4y2=（x+2y）2=0.36。

例7 （2019·河北）已知 A=（n2-1）2+（2n）2，整式B＞0。

尝试化简整式A。

发现已知A=B2，求整式B。

联想由上可知，B2=（n2-1）2+（2n）2。当n＞1时，n2-1、2n、B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值：

_直角三角形三____边___勾股____________数组Ⅰ___勾股数组Ⅱn2-1___/_____35 2n__B_8______/______

【分析】先利用乘法公式对整式A化简，然后利用因式分解求出B，最后根据相关条件求出表格中B的值。

【答案】A=n4+2n2+1；B=n2+1；17，37。

考点7 整式乘法与因式分解的综合运用

例8 （2017·山东滨州）（1）计算：（a-b）（a2+ab+b2）；

【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算即可；（2）借助（1）的结论来解决问题。

解：（1）原式=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3。