跨海桥梁高桩承台波浪冲击荷载概率模型

魏 凯，周 聪，徐 博

(西南交通大学土木工程学院桥梁工程系，四川，成都 610031)

跨海桥梁作为“21 世纪海上丝绸之路”的关键节点，起到互联互通的作用，具有重要的战略意义[1]。不同于陆地，复杂多变的海洋环境给桥梁基础设计带来了新的挑战[2－3]。高桩承台作为常用的跨海桥梁基础形式之一，广泛应用于东海大桥、杭州湾跨海大桥、港珠澳大桥等重大工程。极端波浪条件下，上部承台结构将承受强烈的波浪冲击荷载作用[4]。2016 年台风“莫兰蒂”期间，正在施工中的平潭海峡公铁两用跨海大桥高桩承台就受到了极端波浪冲击荷载作用。高桩承台因为上部质量大，侧向刚度小，在波浪冲击作用下，水平向的动力响应会明显大于按照静力方法算得的结构响应[5]。结构安全将因此受到严重威胁[6]。然而，目前关于极端波浪冲击荷载时变规律的研究并不完善，难以对跨海桥梁高桩承台的动力分析提供有效指导。

兰雅梅[7]研究发现，波浪作用于高桩承台底部时的压强分布与波浪周期、波陡及承台净空有关。任冰等[8]采用SOLA-VOF 方法，通过数值模拟，得到海洋平台波浪冲击荷载的时程曲线，主要针对波浪力的竖直分量，对水平分量的研究并不充分。

设计工作中，为简化计算，许多规范都采用冲击系数法计算波浪冲击荷载的水平分量，如美国石油学会采用的(API 规范)[9]、挪威船级社采用的(DNV 规范)[10]、美国国家公路与运输学会标准采用的(AASHTO 规范)[11]。郭安薪等[12－13]基于水槽实验，提出了计算极端波浪作用下桥面板水平力、竖向力和弯矩最大值的解析公式，但上述方法均无法反映波浪冲击荷载随时间的变化历程。

为反映波浪冲击荷载随时间变化的关系，波浪冲击作用被修正为包含时间变量的形式[14]。Wienke等[15]把冲击过程分为两阶段，并给出了各阶段的波浪力时程和时间区间的理论计算公式。van Raaij等[14]通过拟合数值计算结果，提出了三段式时程模型描述海洋平台受到的波浪冲击荷载，并给出了各阶段持续时间的经验值。这些研究虽然描述了波浪荷载的时程特性，但并未考虑波浪冲击荷载显著的随机性，以均值、最大值等作为荷载代表值，无法准确分析结构可靠度。

Hattori 等[16]发现，波浪冲击防波堤或直墙类结构时，冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间存在指数关系。但不同模型的经验系数存在较大差异。上述研究表明，采用概率方法描述随机性明显的波浪冲击荷载更为合适。Copula 是一类将多个随机变量的联合分布和他们各自的边缘分布连接起来的函数[17]。Copula 函数能描述变量的相关性，且不受各变量的边缘分布形式限制[18]。Serinaldi 等[19]就采用Copula 函数描述了波浪冲击沿海桥梁桥面板时，冲击荷载峰值和冲击上升时间的关系。

因此，本文以跨海大桥高桩承台为研究对象，通过试验和理论分析手段，开展如下工作：1) 进行极端波浪冲击高桩承台尺缩模型的水槽试验；2) 基于试验结果，建立了波浪冲击荷载时程模型，探明波浪冲击荷载水平分量的时变规律；3) 以Copula理论为基础，建立了冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间的联合概率模型。

1 高桩承台波浪冲击水槽试验

1.1 水槽试验设计

本文以平潭海峡公铁两用跨海大桥所用的高桩承台为研究对象。该承台为36 m×24 m×13.5 m 的长方体，依据1∶90 的缩尺比加工试验模型。在西南交通大学深水大跨桥梁实验室的长60 m、宽2 m、高1.8 m 的中型波流水槽中开展波浪冲击高桩承台的模型试验。试验模型布置于距造波机27.95 m 处，模型安装如图1 所示。水深取90 cm，模型净空s(承台底面与静水面之间的距离)分别取0 cm、2 cm、4 cm。

图1 模型安装 Fig.1 Model installation

试验中入射波采用Strokes 五阶波。为造出波峰尖而陡的非线性极端波浪，在试验中选取给定波高下的周期最短波陡最大的波浪条件。为此，首先对试验水槽进行极端规则波浪条件率定，选取波高H为9 cm、12 cm、15 cm、18 cm、21 cm。通过不断缩短波浪周期，直到造出的波浪达到破碎极限，继续缩短则会造成波浪破碎，此周期即为该波高条件下的极端波浪周期率，得出的不同极端波浪条件下的波高、周期关系如式(1)。将选定的波高H代入式(1)，求得相应波高条件下的最短周期T为0.91 s、1.04 s、1.15 s、1.25 s、1.35 s。

根据不同净空、波浪条件组合确定15 组试验工况，如表1 所示。

选用采样频率为1000 Hz 的六分量测力天平采集模型受到的冲击力水平分量。为获得模型受波浪作用时的周围液面变化情况，将采样频率为100 Hz的波高仪分别布置在承台后方(WG4)及两侧 (WG2、WG3) 10 cm 处。在空水槽测试中，将波高仪WG1安装于WG4 前方2 m 处以监测波浪条件，当试验模型安装就位后，将WG1 重新安装于承台前方40 cm 处。模型及仪器布置如图2 所示。

本试验波浪条件符合Stokes 五阶波浪理论，根据该理论计算波面历时曲线并与空水槽试验结果进行对比，如图3 所示。由图知，对于试验采用的五种波浪条件，试验和理论的吻合较好，且波浪传播的稳定性高，波峰与波谷未发生明显的抬升与下降情况，试验水槽可以满足本文波浪试验要求。

表1 试验工况 Table 1 Experimental conditions

图2 模型及仪器布置 Fig.2 Model and instrument layout

图3 空水槽造波验证 Fig.3 Wave making verification of empty flume

1.2 数据处理

对各工况下试验稳定段的波浪冲击荷载时程进行频域分析。依据分析结果，分别以结构自振的上限、下限频率15.48 Hz 和12.44 Hz 为截断频率，采用3 阶Butterworth 低通滤波器进行滤波，消除结构自振干扰。由图4 可知，当截断频率为结构自振的下限频率时，噪声基本被过滤。因此，采用下限频率的滤波结果。在波浪即将离开承台时，水体作用于承台后部，产生负向波浪力。由于波面下降，承台快速与水体分离。因而，负向波浪力不仅数值较小，而且持续时间较短。同时，在负向波浪力中未见冲击成分，故不纳入考虑范围。截取荷载时程中的正向部分，提取正向荷载时程中的冲击荷载峰值、冲击上升段持续时间及冲击持续时间用于分析。

图4 原始数据与滤波结果对比 Fig.4 Raw data and filtered data was compared

2 波浪冲击荷载时程模型

基于冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间对截取的正向波浪冲击荷载时程进行归一化处理。同一工况，不同来波的冲击荷载时程形状如图5 所示。

为反映图5 所示的冲击荷载时变规律，将波浪冲击荷载时程表示为冲击荷载峰值Fxmax与时变函数f(tr,td,t)的乘积，基本形式如下：

式中：Fx(t)为随时间变化的冲击荷载；tr为冲击上升段持续时间；td为冲击持续时间。

如图5 所示，同一工况下，不同来波归一化后的冲击荷载时程呈现明显的不对称性。进一步观察可发现波浪冲击上升段的时程可采用三角函数的组合形式来近似，而下降段可采用幂函数来近似。因而，冲击荷载的时变特性可表述为式(3)的分段函数形式。只需确定冲击荷载峰值、冲击上升段持续时间及冲击持续时间即可确定冲击过程。由图3 可知，式(3)拟合效果较好。

图5 归一化的波浪冲击荷载时程 Fig.5 Normalized time history curve of wave impact

为确定冲击过程，对冲击荷载峰值、冲击上升段持续时间及冲击持续时间进一步研究。在已有研究基础上，通过分析实验中的参数变量，发现冲击荷载峰值主要与波峰高度ηmax(波峰距静水面的高度)、承台底面净空s以及承台迎水面宽度a相关。采用量纲分析法，确定冲击荷载峰值计算公式：

式中：Cs为无量纲系数；ρ ga(ηmax-s)2为初始峰值。通过最小二乘法得到Cs的最佳估计值为0.374。

对于tr和td，分析它们的散点图，发现二者存在较强正相关性，线性相关系数ρ= 0.9047，因而由冲击上升段持续时间tr就可确定冲击持续时间td。通过回归分析可得式(5)：

将式(5)代入式(3)可得简化的时变函数f：

由图6 可知，冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间均具有离散性，式(4)和式(5)无法对此进行有效描述。若取Cs=1.6，虽能充分保证结构的可靠性， 却无法兼顾经济性。

图6 冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间的线性拟合 Fig.6 Linear fitting of impact maxima and rise time

同时，已有研究表明冲击荷载峰值Fxmax与冲击上升段持续时间tr并非完全独立，存在一定的负相关性[20－21]。因而，采用Copula 函数建立冲击荷载峰值Fxmax和冲击上升段持续时间tr的联合概率分布，以描述它们之间的联系。

3 基于Copula 的波浪冲击荷载概率模型

根据二元分布Sklar[22]定理，基于二维Copula理论的联合概率模型如下：

式中，G(Fxmax)、T(tr)为H(Fxmax,tr)的边缘分布。若G(Fxmax)、T(tr)连续，则C唯一确定。

3.1 边缘分布

建立联合概率模型需要确定冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间的边缘分布形式。先将它们进行无量纲处理。冲击荷载峰值的无量纲量可由式(4)直接写出：

据试验可知，冲击上升段持续时间与波高，波浪周期、承台底部净空有关。试验中，周期与波高采用了指定关系。在其他条件不变的情况下，冲击上升段持续时间仅与周期和净空有关，其无量纲量为：

式中：T为波浪周期；s为净空；d为水深。

分别采用Gamma 分布、广义极值(GEV)分布、Generalized Pareto(GP)分布、Inverse Gaussian 分布、Lognormal 分布、Rayleigh 分布、t-Location-Scale分布等对无量纲冲击荷载峰值和无量纲冲击上升段持续时间进行拟合，运用极大似然法进行参数估计，结果如表2 和图7 所示。

如图7 所示，不同概率模型对无量纲冲击荷载峰值和无量纲冲击上升段持续时间的概率分布拟合效果参差不齐。采用K-S检验遴选拟合度最高的概率分布模型。由表3 可知，无量纲冲击荷载峰值满足GEV 分布，其函数表达如下：

表2 概率密度函数参数估计结果 Table 2 Probability density function parameter estimation result

式中，k= 0.123，μ= 0.425，σ= 0.138。

由表4 可知，无量纲冲击上升段持续时间最符合Beta 分布，其函数表达如下：

式中，a= 20.625，b= 67.031。

3.2 Copula 函数的确定

选取Gaussian Copula、t Copula、Frank Copula、Farile-Gumbel-Morgenstern (FGM) Copula、 AMH Copula等10种应用广泛的阿基米德Copula函数族，采用Bayes 方法进行参数估计[23]，具体方法如下：

假 设Θ表 示 参 数θ= (θ1,θ2,…,θk)的 可 能 取值，则相应的先验概率分布为pi=P(Θ=θi)。令ε为观测结果，利用观测结果修正参数θ的先验假定分布，依据条件概率公式可得：

图7 不同联合概率模型拟合结果对比 Fig.7 Fitting results of different joint probability model was compared

表3 无量纲冲击荷载峰值各理论概率分布K-S 检验结果 Table 3 K-S test results of different theoretical probability distributions of non-dimensional wave impact maxima

表4 无量纲冲击荷载上升段持续时间各理论 概率分布K-S 检验结果 Table 4 K-S test results of different theoretical probability distributions of non-dimensional rise time

将 先 验、后 验 概 率 分 别 记 为P′ (Θ=θi)和P′(Θ=θi)，则式(2)可写为：

Θ的期望值即为参数θ的Bayes 估计结果：

连续分布情况下，假设θ为连续随机变量，其先验概率密度函数为 ( )f θ′ ，则θ的先验概率表达为P(θi＜θ＜θ i+Δθ) =f′(θ)Δθ，经观测结果ε修正后，其后验概率如下：

则参数θ经Bayes 更新后的估值如下：

通常，后验分布很难求得，数值方法常常是唯一可行和有效的方法。可采用Monte Carlo 模拟(MCS)进行大量模拟，最终得到后验概率的近似分布。各Copula 函数参数估计值如表5 所示。

采用均方根误差法(RMSE)、AIC 信息准则法、BIC 信息准则法对Copula 函数进行拟合优度评价，选取拟合度最高的Copula 函数。由表6 可知，FGM Copula 函数的拟合效果最佳，其函数形式如下：

式中，θ=-1 .0000。

表5 各Copula 函数参数估计值 Table 5 Estimated value of each Copula function parameters

表6 各Copula 函数的拟合优度检验结果 Table 6 Test results of goodness of fit for different Copula functions

3.3 联合概率分布

采用FGM Copula 函数建立无量纲冲击荷载峰值与无量纲冲击上升段持续时间的联合概率模型。联合概率密度和联合概率分布如图8 所示，联合概率分布等值线如图9 所示。

图8 联合概率密度及联合概率分布 Fig.8 Joint probability density and joint probability distribution

图9 联合概率分布等值线 Fig.9 Contour of joint probability distribution

图8(a)表示在波浪条件和结构参数给定的情况下，不同的Fxmax和tr组合出现的概率，再通过波浪荷载时程模型，就可得到不同波浪冲击荷载出现的概率。

由图8(b)和图9 可得，在波浪条件和结构参数给定的情况下，Fxmax和tr的组合在一个确定的累计概率下的取值范围。Fxmax和tr在0.1～0.9 不同累计概率下的关系，均符合图9 中对应的等值线。

4 结论

为研究极端波浪作用于高桩承台时波浪冲击荷载水平分量的时变规律，进行了以平潭海峡公铁两用跨海大桥为原型的尺缩模型水槽实验。对试验结果进行分析，提出了基于冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间的波浪冲击荷载时程模型。并对其中参数进行分析，为描述冲击过程的随机性、冲击荷载峰值与冲击上升段持续时间的关系，基于Copula理论，建立了联合概率模型。主要得到了以下结论：

(1) 承台底部净空为0 cm、2 cm、4 cm 时，波浪冲击荷载水平分量的时程呈现明显的不对称性，采用分段函数进行描述，其中上升段采用三角函数的组合形式，下降段采用幂函数形式。

(2) 波浪冲击荷载具有明显的随机性，无量纲冲击荷载峰值符合广义极值分布，无量纲冲击上升段持续时间符合Beta 分布。

(3) FGM Copula 函数能较好描述无量纲冲击荷载峰值和无量纲冲击上升段持续时间的联合概率分布。

本研究探明了极端波浪作用下波浪冲击荷载水平分量的时变特性，并对冲击荷载峰值和冲击上升段持续时间的随机性进行描述。对高桩承台的波浪荷载设计和结构动力分析具有重要价值。