多角度思考问题

陈伟莎

分类讨论思想在初中数学中有着重要的作用，学会使用分类思想对数学学习有着重要作用。本文主要总结了从七年级至今的数学学习中，对分类讨论思想的思考、总结、归纳。可以从概念、取值范围、几何中的特定位置等多角度思考问题，从而让问题得到全面地解决。

1 与“分类讨论”的接触

在小学数学的学习中，答案基本都是唯一的，选项也是唯一的。同学们对数学问题的理解都是单一性的。进入的学习之后，这样的思维被打破，有很多问题的答案不再是唯一，在思考问题的时候也不能只是找到符合问题即可，而是要找到所有符合条件的答案。

第一次碰到这个问题是在七年级数轴的学习中。

例：在数轴上和原点距离是2的点表示的数字是________________。

很多同学的答案是2。然后是在绝对值的学习中也是同样的问题。

在后来的学习过程中，很多问题都会有多个答案。自此，同学们认识到了“分类讨论”思想的重要性。

2 对“分类讨论”的认识

分类讨论思想在初中数学中经常能遇到，在学习过程，分类讨论思想越来越体现其重要性。需要用到分类讨论思想的时候，总是在问题约束条件不够的情况下，或者不清楚属于哪一类的情况下运用。例如：请比较a与-a的大小。这个问题中的a不确定是正数、负数、零，所以最终无法确定a与-a的大小关系。此时简答题中需要判断大小关系的时候，就需要进行分类讨论。

“分类讨论”思想可以按照下面步骤进行处理：（1）确定问题是否需要进行分类讨论;（2）确定分类的对象，对谁进行分类讨论;（3）確定分类标准进行合理分类，做到不重不漏;（4）逐类进行讨论;（5）综上所述，得出结论。

3 对“分类讨论”的运用

3.1 根据概念进行分类

学到八年级，数学中有很多概念都是需要进行分类讨论，距离、绝对值、有理数、实数、三角形、等腰三角形等。在学习过程，要求对概念必须十分熟悉才可以，不能遗漏，但也不能重复。

例：请比较a与-a的大小。

分析：对本题产生困惑的原因是不知道a以及-a的正负情况，只是清楚它们的符号不同。所以本题考查的是有理数的分类。本题根据a的取值范围进行分类，可以将a分为三类：正数、0、负数，在三种情况下，分别比较出a与-a的大小。

在这类定义问题的解决过程中，分类必须要清楚，以上题为例，对有理数的分类必须要清楚，不能重复，也不能遗漏，尤其是对0的这一类，常常会被忽略。

3.2 根据字母的取值范围进行分类

七年级开始，很多的概念和数学规律都可以用字母来简单的表示。虽然用字母表示数还没提出，但是在平时的学习中，却经常能用到。

分析：本题考查绝对值的定义，对绝对值的理解是七年级数学中的一个难点，注意从数形结合入手，其本质就是数轴上两点之间的距离，所以|a|可以看成表示a与表示0（即原点）之间的距离。当|a|=3时，因为无法确定a>0或a<0，所以a有两种可能3或-3，同样b也有两种可能，由于a>b，所以本题需要进行分类讨论再确定a+b的值。

3.3 根据几何图形的特征进行分类

在几何图形的学习中，由于几何图形中的线段有特定的位置，特定的条件。所以在学习的过程同学们除了要注意线段的长度还要注意它的位置。

因此这种情况不存在，舍去。

综上所述，腰长为5cm。故选A。

3.4 实际问题中的分类

这类问题对学生来说需要一些生活经验，有时候条件是题目给出的，有时候的条件却是需要从实际生活中得出的。

例：某服装厂生产一种西装和领带， 西装每套定价200元， 领带每条定价40元。厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。

方案一：买一套西装送一条领带;

方案二：西装和领带均按定价的90%付款（两种优惠方案不可同时采用）。

某商店老板要到该服装厂购买西装20套和领带若干条（超过20条）， 请你帮助商店老板选择一种较省钱的购买方案。

分析：因已知条件中未明确所购领带的具体数量，因而较省钱的购买方案是不确定的， 而是由不同的领带购买数量所决定的。

解：设商店老板需购买领带x条， 则

按方案一购买， 应付款200×20 +（x-20）×40=40x+3200（元）

按方案二购买， 应付款（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）

设y =（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）

10 当y<0时，

4x-400 <0 ， 即20

方案一比方案二省钱;

20 当y=0 时，

4x-400=0 ， 即x=100 ，

方案一与方案二同样省钱;

30 当y>0 时，

4x-400>0 ， 即x>100 ，

方案二比方案一省钱。

综上所述， 当购买领带超过20 条而不到100 条时， 选择方案一省钱;

当购买领带等于100 条时， 选择两种方案同样省钱;

当购买领带超过100条时，选择方案二省钱。

4 总结

以上提及的是我在一年多学习中，对分类思想的总结归纳。在数学的学习中，分类讨论思想时时刻刻会出现在问题中，相信这是初中数学中一个重要的数学思想。在一年多的数学学习中，老师不断在课堂上题型我们满足条件的结果都要得出，不断地提及分类讨论思想。同学们，在思考问题也不再变得那么单一，考虑问题也相对比较全面。多角度思考问题，对我们学习其他的学科也是十分有用。

（作者单位：浙江省诸暨市赵家镇初级中学）