对偶梯度法在图像去噪中的应用

沈炜恒，朱永贵

(中国传媒大学 理工学部，北京 100024)

1 引言

随着数字图像的发展，人们在工作和生活中会大量接触数字图像。数字图像在生成、传输等环节中会受到多种因素的影响而产生噪声。例如，图像生成过程中自然环境的影响、设备环境的影响，图像传输记录过程，受到干扰也会产生大量噪声；另外，图像记录储存过程中发生的测量误差、计算误差也是造成图像中掺杂噪声的另一个原因。这些噪声会导致信息的丢失，从而降低了图像质量。

所以，如何从这些图像中“复原”出原始的图像就显得尤其重要。牛顿法是最基本的一种迭代生成的算法，它的特点是好理解、结构简单同时复原效果也可以满足基本要求，因而得到广泛应用。对于保留边界特征的去噪模型最有效的还是由Rudin-Osher和Fatemi(ROF)在[1]中提出的全变差模型，ROF复原模型可以适应许多实际问题中不适定问题的解。

下文中先介绍一种基本模型，然后介绍正则项的相关知识，以及对偶梯度法的相关知识，主要是介绍它适用的情景，最后介绍和分析用对偶梯度法来求解ROF模型达到图像去噪的方法。

2 相关数学知识介绍

2.1 相关数字图像处理的研究背景和相关基本数学知识准备[1，2，3，4，5]

最基本的线性反问题的模型格式如下：

Ax=b+w

其中A∈m×nb∈m都是已知的，w是未知的噪声(或者干扰)向量，是x“真实图像”同时也是需要被估计计算的未知图像，在图像去噪的问题中b代表观察图像即噪音图像，w代表噪音，在去噪问题中模糊算子A为I是即图像未被模糊处理模型转变为：

b=x-w

但是绝大部分复原问题都是病态问题，后引入正则项使问题适定即得到ROF模型但是在某种情况下，全变差模型存在以下几种缺陷。

1)阶梯化现象：去噪后地图像具有分块平滑地现象，即某一区域内地灰度值保持不变，呈现块状，或者在平滑区出现明显的边缘。阶梯效应会影响图像的整体效果，而且还会影响到图像的观测和研究。

2)对比度下降：全变差模型是通过最小化图像梯度的范数式来达到图像去噪的效果，因此，在有界区域内复原后图像的全变差值将会下降。

3)几何形状变形：在有些情况下，当采用ROF模型进行图像复原时，可能会导致水平集的几何形状发生形变。

4)纹理的丢失：尽管全变差正则化能有效去除噪声，但是，该方法会造成对比度下降和几何形变，不能保持图像的边缘信息，故而会造成纹理和细节的丢失。

2.2 对偶模型相关知识准备：[6，7]

我们考虑下面的模型：

minf(x)+g(Ax)

(P)

其中f(x)：E→(-∞，+∞]是强凸函数并且强凸系数为σ>0

其中g(x)：V→(-∞，+∞]是凸函数，其中矩阵A：E→V的线性算子

同样我们可以把P问题变成如下的P′问题

min{f(x)+g(z)：Ax-z=0}

(P′)

引入变量变量y后P′问题可转变为：

L(x，z，y)=f(x)+g(z)-〈y，Ax-z〉=f(x)+g(z)-〈ATy，x〉+〈y，z〉

转变为其对偶问题：

2.3 ROF模型相关知识准备

其中ROF的离散定义如下

ROF模型的梯度化的结果如下：[6，7]

首先给出梯度定义：如果有一个函数u=u(x，y)在区域D上是有定义的，而且点P(x，y)∈D的。如果存在一个向量A(x，y)，这个向量所指的方向是u(x，y)在这个点P处各个方向的方向导数取最大值的方向，它的模|Α(x，y)|等于此方向导数的最大值，则称该向量A(x，y)为函数u(x，y)在点P(x，y)处的梯度，记为gradu|P=A(x，y)。

HΤ(Hf-g)

易得

其中

由此可得全变差正则项的梯度为

至此满足拟牛顿法的模型转换完毕。

可以得到全变差的离散模型梯度为

2.4 对偶梯度模型算法相关知识：[6，7]

近似梯度法：

对象：凸函数h

例子：*h(x)=0；proxh(x)=x

*h(x)=‖x‖1这时proxh(x)就是软阈值迭代算法

对象：minf(x)=g(x)+h(x)其中g是凸函数，可微函数，f是凸函数且有其对应的proxh算法

算法：xk+1=proxtk*h(xk-tk▽g(xk))

*其中tk≥0是步长

令x+=proxth(x-t▽g(x))

例子：*h(x)=0

最后给出算法

Step0.w1=y0V.t1=1

Stepk.(k≥0)Compute

vk=proxLg(Auk-Lwk)

3 实验结果及分析

应用对偶梯度法求解ROF模型实验结果如下：

实验1：采用对偶梯度方法处理，去噪效果对比如下图1所示。

(a)清晰原图像 (b)噪声图像 (c)去噪图像图1 ‘lena’去噪效果图

其中，图(b)为原图像(a)加上一个高斯模糊的图像，模糊参数为10，20；所选的正则化参数为0.05，迭代的次数为201.

实验2：采用对偶梯度方法处理，去噪效果对比如下图2所示。

(a)清晰原图像 (b)噪声图像 (c)去噪图像图2 ‘camera’去噪效果图

其中，图(b)为原图像(a)加上一个高斯模糊的图像，模糊参数为10，4，白噪声的方差为0.01；所选的正则化参数为0.05，迭代的次数为178。

由以上实验可见：此算法是可行的，对模糊和加噪图像有一定的复原效果。

4 结束语

本文建构了一个基于对偶梯度法的图像去噪模型。该模型在全变差正则化方法的框架下，利用图像的梯度信息构建正则化项，相比于其他的正则项全变差，该正则项采用非二次型来解除平滑性的约束，能够在恢复图像平滑区的同时，大量保留真实图像中的边缘和轮廓等细节信息，通过消除图像中梯度变化较大的区域，从而达到去噪的效果。该模型算法在matlab上进行数值仿真实验，结果显示：用对偶梯度法可以达到较好的去噪效果。