双次幂变差与价格跳跃的分离

王光涛

一、本文的符号

二、概念、术语和详细数学推导过程及结果。

1、实现的方差和二次变差

2、随机波动率

3、单次幂变差过程

4、双次幂变差过程

5、带有罕见、大幅跳跃的随机波动率模型

5.1 罕见的跳跃及其二次变差

5.2 罕见的跳跃与单次幂变差

5.3 罕见的跳跃与双次幂变差

三、实证分析

上证指数000001的五分钟交易数据，时间是2013/10/14—2013/11/25日，四十个交易日。其二次变差、实现的方差、双次幂变差如右下图所示：

从右图中可以直观的看到双次幂变差对实现方差的逼近比实现的方差对二次变差的逼近要好的多，但是处在同一个数量级。二次变差与实现方差的离差平方和为1.3874e-007，这是一个非常接近于零的数，可见实现的方差可以作为二次变差的估计量。而双次幂变差与实现方差的离差平方和为3.2009e-008，这个数与1.3874e-007相比更加接近于零，与右图也是吻合的。同时也说明（23）式是成立的。

上图为真实交易数据生成的图像，左图给出了存在跳跃时的实现方差、二次变差和双次幂变差的图像。不失一般性的在第十天中加入一个2%的价格跳跃。也就是说当五分钟的价格中有2%的跳跃时就可以检测到。当加入1%的跳跃时，五分钟数据监测不到，但却可以被一分钟的数据捕捉到。

右图是实现的方差减去双次幂变差生成的图像，可以清晰的看到在第十个交易日有明显的价格跳跃，其值为0.00040278。而2%的平方为0.0004，可见右图准确的捕捉到了这个跳跃，验证了（24）式。为了更好的比较分析，下面我们分析一分钟的交易数据。数据采用2013/11/18—2013/11/25日，8个交易日的价格。

由以上分析知，左图中第二个交易日存在价格跳跃，实际是第480个交易价格的收益率为-0.079048，是一个比剔除这个收益率外其他收益率的均值6.8920e-006大的多的值。此处实现的方差减去双次幂变差的结果为0.0062297。而-0.079048的平方为0.0062486，与0.0062297是如此的接近。当用6.8920e-006替代-0.079048重新分析时，结果如下图。

右图坐标轴的明显变化也显示了一分钟数据的实现方差可以比五分钟数据更好的逼近二次变差。这与数学理论是吻合的。不失一般性的在第480个交易价格处增加一个1%的跳跃，得到的以下两张图，清晰的展现了跳跃的存在。事实是第二个交易日的实现方差减去双次幂变差的结果为0.00010412，1%的平方为0.0001.再一次验证了（24）式。

四、总结

为了简单明了的说明问题，实证分析中仅仅随机的加入了一个跳跃，当随机的加入多个跳跃时得到同样的结论。本文的数学推导和实证分析一致的说明了双次幂变差对跳跃的稳健性，以及实现的方差可以作为二次变差的无偏估计值。所以价格跳跃的二次变差可以由已实现的方差与已实现的双次幂变差之差表示，从而可以把价格跳跃分离出来。但是本文未给出识别跳跃的临界值，因此还有待更深入的研究。

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