利用质点系的“重心”求解线段间的比例

广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙 宇

一、求质点系的重心

在物理学科中,求三个质点构成的质点系的重心可以由以下方式获得:设A,B,C点的质量分别为m1,m2,m3,这三点由有没有质量的线段两两相连.根据杠杆原理在AB线段上寻找AB的平衡点D,易知接下来由点D替代线段AB,且使得点D处的质点的质量为m1+m2,在线段CD上再次使用杠杆原理,求得CD的平衡点E,可得由此得到的点E即为原A,B,C三点构成图形的重心.

受上面的启发,我们可以将该原理引入到数学中解决三角形以及三棱锥的边的线段定比分点问题.

二、在平面中求解线段的比例

例1如图1,在∆ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为BC上一点,且DC=2BD,点E为AC上一点,且AE=3EC,连接AD与BE,设交点为F,求的值.

图1

分析该问题可以通过构造向量求解,也可通过构造辅助线利用三角形相似求解,但难度都较大,且不容易推广.接下来,本文就通过上文中的找重心的方法求解.

解析通过给A,B,C三点处赋予质量(连接的线段没有质量),使得点F为∆ABC的重心.

由DC=2BD,结合杠杆原理,在点B处赋予质量2,点C处赋予质量1;

由AE=3EC,结合杠杆原理,再由点C处已经赋予质量1,点A处赋予质量

由点D替代线段BC,且赋予点D的质量为点B及点C的质量之和为3.

在A,F,D中使用杠杆原理,则有同理可得

现将该结论推广至一般情况.

图2

问题1(一般提法)如图2,在∆ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为BC上一点,且BD:DC=m:n,点E为AC上一点,且CE:EA=s:t,连接AD与BE,设交点为F,连接CF与AB交于点M,求的值.

解析仿照例1,通过赋予质量,使得点F为∆ABC的重心.

由题意可设:B,C,A三点的质量分别为在各条线段上运用杠杆原理及可得:

根据问题1的结论,在图2中出现了六条线段的比例,根据上文中找重心的方法,已知任意两条线段的比例即可求得另外四条线段的比例关系.

三、在空间中求解线段的比例

现将该结论推广至立体图形:本文先介绍一下三棱锥重心的定义:三棱锥的四个顶点分别与其所对面(三角形)的重心的连线必相交于同一点,称该点为三棱锥的重心.若在三棱锥的四个顶点处各置相等的质量,则这个质点系的质心就是该三棱锥的重心处.

图3

如图3:在三棱锥A−BCD中,设点P为∆BCD的重心,根据上面定理1,只需要确定两条线段的比例,不妨设在∆ACD还需一条线段的比例,不妨设

显然可得B,P,N,K,A三五点共面,设AP与BK的交点为S,现通过给三棱锥A−BCD的四个顶点赋予质量使得点S成为这个质点系的重心.

根据赋予的质量,我们可以求出该三棱锥中所有与之有关的线段的比例.例如:据题意,质点P的质量为在线段AP上利用杠杆原理可得:同理也可获得其他线段的比例关系.对上面的证明过程充分理解后可知,与三角形相比,对于三棱锥而言,需要获得三条线段的比例才可以求得其他线段的比例关系.

例2如图4,设在三棱锥A−BCD中,点P为三棱锥内部一点,延长AP与面BCD交于点M,延长BP与面ACD交于点N,若延长AN与CD的交点为T,且有CD=TD,延长CP与面ABD交于R,求的值.

解析通过给四个顶点赋予质量使得点P为三棱锥A−BCD的重心,由在点A,M处分别赋予质量1,2,设点B处赋予的质量为x,根据可得点N处赋予的质量为3x;

图4

由CD=TD,在C,D处同时赋予质量y,根据质量守恒的原则:点M的质量代表面BCD的质量可得:x+2y=2,同理点N的质量代表面ACD的质量可得:1+2y=3x.

由此可得点R处的质量为利用杠杆原理,

根据此题的背景我们还提出如下的变式问题:在例2的背景下求(1)求的值?(2)设的值.

解析根据例2的解答过程,三棱锥P−ABD与三棱锥A−BCD同时选择∆ABD作为底面,由点C及点P分别向面所做的高为h1,h2.

对于第(2)问,参考文[1]及文[2],利用空间版的“奔驰定理”,即可将向量的系数比例转化为各个小三棱锥的体积之比.空间版的“奔驰定理”是指:对任意三棱锥A−BCD,设三棱锥A−BCD内一点P,若有

则有:

成立[2].根据例2及第(1)问的提示可得:

所以

同理这两个问题也可迁移至前面关于平面的讨论之中.