椭圆切线的又一性质

内蒙古巴彦淖尔市第一中学(015000) 杨松松 王东伟

文[1]中给出了与椭圆切线有关的一个性质:

命题[1]设F1,F2是椭圆的焦点,A,A′是长轴两端点,过F1,F2作椭圆上一点P处切线的垂线,垂足分别为B,C,则点B,C在以AA′为直径的圆上.

近年来各省市基于这一性质而命制的模拟试题也层出不穷.经探究,笔者又得到了与椭圆切线有关的一个性质.

性质如图1,已知P为椭圆上一点(不与长轴顶点重合),直线l是过点P的椭圆的切线,过两焦点F1,F2分别作切线l的垂线与椭圆C分别交于点M,N,过点M,N的椭圆的切线交于点Q,以椭圆C的中心为圆心,且过长轴顶点的圆记作圆O.则点Q在圆O上,且过点Q的圆O的切线与切线l平行.

图1

证法2若要证明点Q在圆O上,根据命题1,只需证明QF1⊥QN.如图2,连结F2M,作点F1关于切线QM的对称点A,连结AF2,则由椭圆光学性质知,A,M,F2三点共线.又|MF1|=|MA|,所以|AF2|=|AM|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=2a.

图2

连结F1N,作点F2关于切线QN的对称点B,连结BF1,则由椭圆光学性质知,B,N,F1三点共线.又|NF2|=|NB|,所以|BF1|=|BN|+|NF1|=|NF2|+|NF1|=2a.

所以|AF2|=|BF1|.连结QA,QF1,QB,QF2,则|QA|=|QF1|,|QF2|=|QB|,所以∆QAF2∽=∆QF1B,所以∠QAF2=∠QF1B.又|MA|=|MF1|,|QA|=|QF1|,所以 ∆QMA∽= ∆QMF1,所以∠QAM=∠QF1M,所以

过点N作切线QN的垂线m交x轴于点D,由椭圆的光学性质知,又F1M⊥l,F2N⊥l,所以F1M//F2N,所以∠MF1N=∠F1NF2.又所以∠QF1B=∠F1ND,所以QF1//m,所以QF1⊥QN,所以点Q在圆O上.

下面证明F1M//OQ.延长F1Q到R,使|QR|=|F1Q|.连结RF2,则OQ是∆RF1F2的中位线,所以OQ//RF2且|RF2|=2|OQ|=2a.连结RN,则|RN|=|NF1|,所以|RN|+|NF2|=|NF1|+|NF2|=2a,因此|RN|+|NF2|=|RF2|,所以R,N,F2三点共线,所以F2N//OQ.又F2N//F1M,所以F1M//OQ.

推论1已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,M,N是椭圆C上位于x轴同侧的两点,且F1M//F2N.若过点M,N的椭圆的切线交于点Q,则点Q在圆x2+y2=a2上,且OQ//F1M.标原点,Q为圆x2+y2=a2上一点(不与椭圆长轴顶点重合).过椭圆两焦点F1,F2分别作与有向线段OQ同向的有向线段F1M,F2N,F1M,F2N分别交椭圆于点M,N,则直线QM,QN与椭圆相切.

推论2已知椭圆O为坐右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,Q为圆x2+y2=a2上一点(不与椭圆长轴顶点重合).过点Q作椭圆的两条切线,切点分别为M,N(M在N的左侧),则直线F1M、F2N、OQ两两互相平行.

推论3已知椭圆的左、