主题整合：让数学学习走向深刻和多元

佘路祥

摘  要：小学数学“主题整合”教学从学生生命成长视野出发，基于学生经验和数学学科特质，力图让学生数学学习走向深刻、多元。以《圆的认识》教学为例，通过圆的外形美、内在美、构造美、应用美，催生学生的数学思维、想象，提升学生的数学学力，发展学生的数学核心素养。

关键词：小学数学;主题整合;圆的认识

小学数学教学呼唤整合。小学数学主题整合教学是指“在现有课程的基础上，围绕某个主题将小学数学学科内或学科外相关联的内容进行整合融通，构造学习内容的交叉地带，以问题解决为载体，以提升学习力和综合素养为追求，引领学生进行跨界学习的一种教学方式”。下面以《圆的认识》一课为例，谈谈怎样进行主题整合教学。

毕达哥拉斯学派认为“在一切平面图形中，圆是最美的”，本节课教学可用寻美作主线，从外形美、内在美、构造美、应用美四个方面对圆展开立体化研究，通过数学学科内部整合、数学与生活整合、数学与实践整合、数学与其他学科整合，改变学习方式，丰富学习经验，提升思维水平，给学生呈现一节丰满的圆文化课程，引领学生经历一段充满张力的思维旅程。其教学过程如下：

一、观察比较，感受圆的外形美

（出示自然界、建筑物、藝术品、工具、运动中的圆。）

师：这些物体上有圆吗？生活中你还在哪里见到过圆？看到这些含有圆的物体，你有什么感受？

师：古希腊数学家曾说，“在一切平面图形中，圆是最美的”。

（出示长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形。）

师：这些是我们已经认识的平面图形，和它们相比，你觉得圆究竟美在哪里？

生1：圆没有角，其他图形有角。

生2：圆的线条很柔和，它的边是一条弯曲的线，其他图形的边都是直的线段。

生3：圆非常饱满，象征着圆满。

生4：圆非常匀称，在各个方向上“宽度”相等。

……

师：同学们观察得很仔细，圆是一种曲线图形，柔和、饱满、匀称，圆的外形确实很美。

【设计意图：设置丰富的生活情境让学生充分感受到圆在生活中随处可见，从而激发对圆的认知需求;借用数学家的一句话，引发学生对“圆是最美的”的探究欲望;通过与其他平面图形进行对比，初步感知圆的外形美。从寻美的角度为新课展开做好铺垫。】

二、操作思考，体验圆的内在美

1. 操作

师：为什么圆的外形如此美呢？让我们一起走进圆的内部，探索背后的秘密。请拿出圆形纸片，沿不同的方向对折，你有什么发现？

生1：我发现圆对折后能完全重合，它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。

生2：我发现这些折痕的长度都相等。

生3：这些折痕都相交于一个点。

生4：每条折痕的两个端点到圆中心的长度是相等的。

师：真了不起！发现了这么多秘密！这些折痕对应的线段是圆的直径，用字母d表示，这些直径相交的点是圆心，用字母O表示，从圆心到圆上任意一点的线段是半径，用字母r表示。在圆片上用字母标上圆心、直径和半径。

2. 思考

师：一个圆的直径和半径分别有多少条？它们之间有怎样的关系呢？

生1：沿任意方向对折都能折出一条直径，所以直径有无数条，半径是直径的一半，半径也有无数条。

生2：我测量了后发现直径的长度都相等，半径的长度也相等。

生3：我认为要加上“同一个圆中”，因为我手上的这个小圆的直径和他手上大圆的直径就不可能相等。

师：古人把圆的这个特征叫作“一中同长”。你能理解这四个字的含义吗？

生1：一中就是一个中心，也就是一个圆心，同长是指圆上任意一点到圆心的距离都相等。

生2：同长除了表示半径相等，也可以表示直径相等。

师：因为有了一中同长的特征，所以使得无数个离圆心距离相等的点汇聚成了一条完美的曲线，这样一来，圆的外形还能不美吗？

【设计意图：在教学“一中同长”这一圆的基本特征时，借助圆形纸片，通过对折、观察、思考等活动过程，辅以教师的点拨，引导学生自主发现圆的圆心、直径、半径及其相关特征，并归纳得出“一中同长”这一圆的本质属性。这种整合设计具有明显的优越性，既丰富了学生运用操作和观察探索图形特征的固有数学活动经验，又避免了探索圆“一中同长”特征的通常做法中“虚假发现”的缺陷，同时还让学生理解了圆外形美的内在原因。】

3. 延伸

师：这个圆内画了4条线段，哪条线段最长？（图1）

图1

生：直径最长。

师：你是怎么知道的？

生：我是看出来的，也可以量一量。

师：观察、测量可以知道结果，其实推理也能帮助我们进行判断。从圆心画两条半径和④号线段构成一个三角形，有没有受到什么启发？

师：继续观察，和③号线段也构成一个三角形（如图2）。有什么想说的？

图2

生1：因为三角形两边之和大于第三边，所以这两条半径的和大于③号线段的长。

生2：两条半径拉直了就是一条直径，所以直径比其他线段都要长。

师：我们一起见证一下（课件动态演示）。由此可见，连接圆上两点的线段中，谁是最长的？

生：直径是连接圆上两点的最长线段。

【设计意图：探究圆上最长线段时，淡化了传统的用直尺固定一点，旋转比对的方法，从圆跨界到三角形，借助三角形的三边关系进行推理，学科内部进行整合，打通前后知识的关联，凸显数学内在的逻辑演绎，引领学生进行深度学习。】

三、探究作图，体会圆的构造美

1. 启发

师：如果我们要画一个圆，运用什么工具才能画出具有“一中同长”特征的圆呢？

生1：用圆规来画圆。

师：用圆规怎样画圆？

生2：先把圆规的两只脚叉开，然后把针尖固定在纸上，捏住手柄旋转一周就能画一个圆。

师：能说说理由吗？

生3：圆规针尖对应的点就是圆心，两只脚之间的距离就是圆的半径，满足“一中同长”的特征。

师：除了用上面的方法，我们可不可以创造一个工具来画圆呢？

生4：把直尺的一端固定，另一端装上笔，旋转一周就可以画一个圆。

生5：把棉绳的一端固定，然后拉直，另一端套上铅笔旋转一周就能画圆。

生6：握紧两支笔，一支笔的笔尖固定作为圆心，另一支笔旋转一圈就行了。

师：真不简单，想到这么多种方法，这些方法是不是都能成功画圆呢？每人选择一种方式，尝试画一个圆。

2. 交流

师：我们用不同的方法画圆时，分别要注意什么呢？

生1：用圆规画圆时，两脚之间的距离不能变化，圆规最好倾斜一点画。

生2：用棉绳画圆时，固定的一端一定不能动，画的过程中绳子要拉紧，不能松，不然就做不到“一中同长”，也就画不成圆了。

生3：用两支笔画圆时，两支笔都不能动，把本子旋转一周画起来才方便。

3. 内化

师：如果把棉绳换成皮筋，也能画圆吗？谁来试一试。

师：为什么用皮筋画不出圆呢？

生1：皮筋有弹性，画圆时长度会变化。

生2：笔尖到固定点之间的长度一会长，一会短。

师：看来要想成功画圆，必须满足“一中同长”的特性。

【设计意图：认识了圆“一中同长”的特征后，要求学生画圆，学生提出用圓规或圆形物体可以画圆后，再次要求学生创造一种画圆的工具，让数学和实践整合，打开学生思维——画圆不一定用圆规。正确画圆后进行交流，感悟不同画法之间的共同属性。而后让学生用有弹性的皮筋画圆，一番努力之后发现无法画成功，对比冲突中感受画圆时定点和定长的必要性，充分感悟圆的构造之美。】

四、实例分析，理解圆的应用美

1. 研究

师：圆在生活中有着广泛的应用，各种车轮、很多盖子都设计成圆形，这是为什么呢？请大家拿出车轮模型和奶粉罐，开始研究。

2. 交流

（1）师：哪一组来汇报车轮的研究结果？

生1：车轮设计成圆形，滚动时摩擦力比较小，所以滚得快。

生2：我发现车轴安装在圆心，车轮转动时车轴与地面的距离相等，从而比较平稳。

师：车轮设计成圆形应用了圆的什么特征呢？

生：圆心到地面的距离就是圆的半径，用了同一个圆的半径都相等的特征。

师：如果车轮设计成方形会怎样呢？

（课件演示方形车轮运动轨迹。）

（2）师：奶粉罐的盖子为什么设计成圆形呢？

生1：圆没有棱角，不容易伤到小朋友。

生2：不管从哪个角度，都能很容易把盖子盖上去。

（课件演示方形盖子容易掉下去。）

师：这又是应用了圆的什么特征呢？

生1：直径是圆上最长的线段。

生2：同一个圆的直径都相等。

【设计意图：能用数学知识解释生活现象是学生学习数学的理想境界。选择车轮和盖子两种素材，放手让学生去研究为什么设计成圆形，数学和生活整合，培养了学生应用数学的能力。】

五、总结提升

1. 回顾

师：学到这里，谁来说一说，这节课你学到了什么？

生1：我知道圆是美的图形，具有一中同长的特性。

生2：我认识了圆心、半径、直径，知道了它们的关系。

生3：我能用圆解释一些生活现象。

2. 拓展

（课件依次出示风漩涡、水漩涡、树干截面、鸟窝。）

师：圆是美的图形，美在外形、美在内在、美在构造、美在应用。圆的美，风知道、水知道、树知道、鸟儿也知道。

（课件依次出现和圆有关的词语、诗句、名言、数学思想。）

师：圆的美还在于思美、言美、诗美……圆的美还期待着同学们去探索、去发现！

3. 延伸

（出示实践作业：①测量一棵大树的直径;②做一个尺规，可以画大小不同的圆。）

师：请大家课后选择一项完成。

【思考：课尾从数学上的圆到自然现象中的圆再到文学作品中的圆，多次整合，引领学生打破学科壁垒，从数学之外观察圆，感悟圆的美，最后再回到圆出于方、化圆为方等数学思想。布置学生完成实践作业，以期学生学以致用，带着问题离开课堂，去追寻更美的境界。】

小学数学采用主题整合的方式重组学习材料、优化学习资源，能开阔学生视野，激发学习兴趣，培养整体思维，让数学学习走向深刻和多元。