猜想与验证：助力儿童走向数学思考更深处

相春艳

【摘要】猜想与验证是解决数学问题的一种重要的数学思想方法，将猜想与验证放到数学教学中，不仅可以提高学生学习的兴趣，还可以更好地提升数学思考。笔者主要阐述了“猜想与验证”助力数学思考的三个方面：由模糊走向清晰、由浅显走向深刻、由简单走向严密。

【关键词】猜想 验证 助力 数学思考

猜想是人们根据一定的经验材料和已知事实，对数学问题做出的推测性判断，可能为真，也可能为假。对于猜想得到的命题，或经过演绎证明为真命题，或举出反例判断其为假命题。在小学数学教学中，常常以举例的方法来验证猜想所得到的结论的正确性，只要出现一个反例则说明猜想是错误的，如果没有出现反例则可以说明结论是正确的。

数学思考是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的四个方面的课程具体目标之一，主要是指通过数学学习而逐步形成的一种主动思考的意识、相对理性的思维方式，以及对数学基本思想的感悟。发展数学思考，有助于学生从数学的角度看待问题、用数学的思维分析问题、用数学的方式解决问题，从而有助于发展他们的数学核心素养。

对于小学生来说，数学是一门相对枯燥的学科，而“猜想”又很像他们爱玩的猜谜语游戏，这样的形式会极大地提高学生学习数学的兴趣，调动他们的积极性。更为重要的是，丰富学生猜想与验证的过程，对于提高学生的数学思考具有重要意义。

一、助力数学思考由模糊走向清晰

就小学数学学习而言，数学猜想有时是在灵感、直觉中闪现出来的，此时的数学思考是相对模糊的，需要在不断的猜想与验证中逐渐明确、走向清晰。

例如，教学苏教版数学二年级上册“认识线段”中探究点与线段之间的规律时：

师：这里有两个点，在这两点间画线段，能画几条？请你试一试。

生：能画1条，一眼就看出来了。

师：像这样把两个端点之间的一段连起来就能画出1条线段。

师：现在有3个点，在每两点之间画一条线段，你能画出几条？

生：我觉得可以画出3条线段，可以在左边画出一条，右边画一条，下面也可以画一条，画出的是三角形。

师：把每两点连接起来，我们可以画出3条线段，围成一个三角形。

师：这里有4个点，请你在每两点之间画一条线段，先猜一猜，能画出几条？

生1：我猜可以画4条，因为像上面那样围成一个四边形就可以了。

（当有2个点、3个点时，学生都可以通过肉眼观察直接得到画出几条线段，并且在脑中产生一种模糊的形象，好像只要把点顺势连起来围成一个图形，就可以得到有几条线段，所以当有4个点时就会自然猜想可以画出4条线段，所以学生的思考是比较模糊的）

师：到底这里能画出几条线段呢？还是请你们动手来证明吧！

生2：除了外面的一圈之外，还可以在里面画出线段来。

生3：可以画6条耶，不止4条，看！

师：别着急，把你的想法與画法告诉我，好吗？（出示学生作品）

（通过动手实践验证后，学生发现4个点不止可以画4条线段，证明之前的猜想是错误的，并且建立新的想法，不仅要外面围起来，里面也可以连出线段）

师：现在又多了一个点，先猜一猜，你能画出几条线段？（学生们悄声地猜着、比画着……）

生1：我想，肯定比6条多，因为比刚才多了一个点，画出来的线段也会多。

生2：我想，外边可以连5条，里边还可以连出好几条呢，到底有几条？一下子看不出来。

（有了之前的猜想与验证，当有5个点时，学生的数学思考逐渐明朗起来，他们会想到：点越多、线段越多，也会想到：从外面、里面来考虑画出全部的线段）

师：快快动手，画一画，不就知道了？

生4：我们一共可以画出10条线段，外边有5条，里边也有5条，一共有10条。

师：你们画得很认真，交流得也非常好。有时，我们在画和数的时候用分层的方法来考虑，就会很清楚地看出一共有多少条线段了，这是一个非常好的学习方法。

对于二年级的学生来说，在探究点和线段的关系时，未必需要他们掌握两者之间准确的数量关系，但是学生的数学思考却在不断的猜想与验证中逐渐由模糊走向清晰，找到画出所有线段的方法。

二、助力数学思考由浅显走向深刻

在小学数学教学中，数学猜想有时是运用归纳法得出的对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断。学生通过观察几个事例得到一个共性的结论，此时的数学思考是比较浅显的，只有在经历验证的过程后才能达到数学思考的深刻性。

例如，教学苏教版数学四年级下册“加法运算律”中的加法交换律时：

1.计算

师：跳绳的一共有多少人？能列出不同的算式吗？

生1：28+17=45（人）。

生2：17+28=45（人） 。

师：这两个算式的结果相等，我们可以用等号连起来：28+17=17+28。

师：不计算怎么知道相等？

生1：都是把28和17加起来。

生2：都是求的跳绳的总人数。

小结：28个男生，17个女生，加起来，求的是——跳绳的一共有多少人。

17个女生，28个男生，求出跳绳的总人数。都是求的跳绳的总人数，所以是相等的。

2.提出猜想

师：仔细观察这两个式子，等号前后什么变了，什么没变？

生1：数字的位置变了。

师：怎么变的呢？

生2：等号左边的数字的位置互相交换了。

生3：但是它们的结果不变。

生4：也就是和不变。

师：是呀，这两组等式，都是两个数相加，交换加数的位置，和不变。

当学生观察两组等式后，他们很容易得到“交换加数位置，和不变”的结论，这个结论非常明显，但学生的数学思考却是比较浅显的，是不是所有的算式都满足这样的猜想，有待进一步的验证。

3.验证

师：那么是不是其他的加法算式都符合这一规律呢？可以怎么办？

生：再写一个这样的式子。

师：能说得具体些吗？

生：写一个加法式子，算出和，再交换这两个数的位置，算出和，看看是不是相等的。

师：听明白了吗？自己举个例子算算看。

生1：20+37=57，37+20=57。20+37=37+20。

生2：25+43=43+25，都等于68。

师：你们的等式呢？符合规律吗？有没有算出来和不相等的？

生：没有。

师：现在我们可以下结论了：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

当全班学生举的例子中，都没有一个反例时，才可以基本确定所得猜想的正确性。在经历了猜想与验证的过程后，学生的数学思考由浅显走向深刻。

三、助力数学思考由简单走向严密

在小学数学教学中，数学猜想有时还会运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的猜想。学生单单通过类比猜想得到的结论不一定都是正确的，此时的数学思考是相对简单的。在不断地猜想与验证后，学生的数学思考才会变得更加严密。

例如，教学苏教版数学五年级下册“3的倍数的特征”时：

1.提出猜想，引导质疑

师：我们知道2的倍数，个位上是0、2、4、6、8;5的倍数，个位上是5和0。那你能猜想一下3的倍数会有什么特征吗？为什么这样想？说说你的想法。

生：3的倍数可能是个位上是3、6、9的数。

师：你們是不是都这样猜想？利用以前的经验，学习新内容是不错的学习方法。今天大家联系2和5的倍数的特征，这样猜想，想法非常好，数学学习经常可以这样类推。那么这一次的猜想对不对呢？谁来举个例子验证一下？

生：16。

师：16个位上是6，是3的倍数吗？

生：不是。

生：还有很多19、23、49都不是3的倍数。

师：看来，我们这个猜想是错误的。

2.利用经验，组织探究

师：那现在我们怎么办？我们学习2和5的倍数特征时，还有什么经验可以利用？（找出倍数，观察比较，发现特征）

现在我们先找出100以内3的倍数，看看能不能发现什么规律。

（出示百数表，让学生把3 的倍数圈出来）

学生受“2、5的倍数的特征”影响，很快类比得到“3的倍数可能是个位上是3、6、9的数”的猜想。此时，学生的数学思考是简单的，教师没有急于否定学生的猜想，肯定了他们类比的想法，再引导学生进行举例验证。再类比找2和5的倍数的特征的方法，先找出100以内3的倍数有哪些，从而观察比较找出规律。学生的数学思考在类比、验证、再类比中，逐渐由简单走向严密。

经历“猜想”课堂的学习不只是为了记住某些规律，而是让学生在猜想验证的过程中，使他们的数学思考走向更深的层次，让学生后续的数学学习更给力。

【参考文献】

[1]顾泠沅，朱成杰.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004（7）.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]潘小福，陈美华. “猜想”应用于教学的问题与对策[J].上海教育科研，2016（7）.