用四面体的余弦定理求解二面角大小

张 东

(贵州省六盘水市第二中学，553401)

数学家波利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”.四面体的余弦定理出现在普通高中课程标准实验教科书选修2-2(A版)“合情推理与演绎推理”后阅读与思考的内容，它是把四面体与三角形作类比推理.本文沿用三角形的余弦定理证明方法,类比给出四面体的余弦定理证明方法，利用四面体中已知的面与面所成的二面角,通过转化思想求出未知的二面角大小,并以例题的形式介绍该定理在2019年高考试题中的应用.

一、四面体中的余弦定理

四面体余弦定理如图1,在四面体V-BCD中，设二面角V-BC-D,V-CD-B,V-BD-C,C-VB-D,B-VC-D,B-VD-C的大小依次为α1,α2,α3,β1,β2,β3,记四个三角形的面积分别为S∆BCD=S1,S∆VCD=S2,S∆VBD=S3,S∆VBC=S4.则有

S21=S22+S23+S24-2S2S3cosβ3

-2S2S4cosβ2-2S3S4cosβ1，

(*)

S22=S21+S23+S24-2S1S3cosα3

-2S1S4cosα1-2S3S4cosβ1，

S23=S21+S22+S24-2S1S2cosα2

-2S1S4cosα1-2S2S4cosβ2，

S24=S21+S22+S23-2S1S2cosα2

-2S1S3cosα3-2S2S3cosβ3.

证明这里仅以证明(*)为例.如图1,作VO⊥面BCD，由面积射影定理，得S∆COD=S2cosα2，S∆BOD=S3cosα3，S∆BOC=S4cosα1.

三式相加，得

S1=S2cosα2+S3cosα3+S4cosα1.

①

同理可得

S2=S1cosα2+S3cosβ3+S4cosβ2，

②

S3=S1cosα3+S2cosβ3+S4cosβ1，

③

S4=S1cosα1+S2cosβ2+S3cosβ1.

④

由①×S1,得

S21=S1S2cosα2+S1S3cosα3

+S1S4cosα1.

⑤

把 ② ③ ④ 代入⑤,得

S21=S2(S2-S3cosβ3-S4cosβ2)+S3(S3-S2cosβ3-S4cosβ1)+S4(S4-S2cosβ2-S3cosβ1)=S22+S23+S24-2S2S3cosβ3-2S2S4cosβ2-2S3S4cosβ1.

同理可以证明上述其他关系式.

用四面体的余弦定理求解二面角的大小,适用于定义法不易作出二面角的平面角的情形,关键在于构造出求解的二面角所在的一个四面体,寻找四面体中其余侧面所成的二面角的平面角,再用几何知识求出四个面的面积,问题迎刃而解.

二、应用举例

下面以2019年高考部分立体几何解答题为例,用四面体余弦定理求解二面角大小.

例1(2019年全国高考题)如图2,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BCD=60°,E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C1DE;

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解(1) 略.

(2)如图3,分别延长AB、DE交于点F,连结MF,易知A1,M,F三点共线,则DF∥MN,A1F为平面AMA1与平面MA1N的交线.

例2(2019年全国高考题)如图4,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.

(1)证明:BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

解(1)略.

例3(2019年全国高考题)如图5,(a)图是由矩形ADEB、Rt∆ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB、BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如(b)图.

(1)证明:(b)图中的A、C、D、G四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求(b)图中的二面角B-CG-A的大小.

解(1)略.

(2)如图5中的(b)图,连结AG、BG,取BG的中点为M,过点C作CN⊥AG于点N,连结MN,则CM⊥BG.

(1)求证:CD⊥平面PAD;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)略.

解(1)略.

三、感悟

通过上面例题的解析,不难发现用四面体余弦定理求解二面角大小,总会有一个二面角是直二面角,这也解释了求解二面角大小可以用向量法的缘故;如今的课堂教学,用向量法求解二面角的大小是一种趋势,向量法能快速地求解出答案,但也潜移默化地弱化了学生的空间想象能力,导致很多学生害怕立体几何主观题的解答.本文相对向量法而言,看似繁琐复杂, 但旨在提供一种新的解题思路,拓宽学生的空间想象能力,提升数学素养,让学生更好地用数学眼光去观察世界.

四面体余弦定理是由平面到空间的演绎推理,同理可以类比到五面体(四棱锥)余弦定理,以及类比到n面体余弦定理,限于篇幅,不再赘述.