区间二型时滞模糊系统的稳定性分析

李静静，周绍生

(1．杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018；2.杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

L.A.Zadeh[1]于1975年首次提出二型模糊集合理论。从空间维数来看，一型模糊集合用二维空间来描述，二型模糊集合则用三维空间来描述，因此二型模糊集合大大增加了设计的自由度，且能更好地表述系统的不确定信息。区间二型T-S模糊模型不仅降低了运算的复杂度，而且还保持了广义二型T-S模糊模型的优点，因此具有更多的实际应用价值。

在许多实际工程系统中，时滞常常导致系统退化、振荡、混沌甚至不稳定等现象。因此，带有时滞的T-S模糊系统的研究非常有意义，目前已取得很好的结果。文献[2]通过构造一个时滞分割的Lyapunov-Krasovskii泛函来减小系统稳定性准则的保守性。文献[3]运用二阶凸组合的思想，以及二次凸函数的性质，得到保守性较小的稳定性准则。文献[4]采用模糊加权相关矩阵和倒数凸组合方法得到比文献[2-3]保守性更小的稳定性准则。近年来，区间二型时滞模糊系统的稳定性分析和控制器设计受到广大学者的关注。文献[5]利用自由加权矩阵的方法，建立了区间二型时滞模糊系统的稳定和镇定条件。文献[6]针对区间二型常时滞模糊系统，利用Wirtinger不等式建立了相关镇定条件，但是Wirtinger不等式比二阶Bessel-Legendre的保守性更高，在减小结果的保守性上仍然有一定的改进空间。本文针对区间二型时变时滞模糊系统的稳定性问题，构造改进了Lyapunov-Krasovskii泛函，并给出系统渐近稳定的充分条件。

1 系统模型

用If-then规则描述基于T-S模型的区间二型时滞模糊系统：

(1)

(2)

区间二型时滞模糊系统可以表述为：

(3)

式中，

(4)

2 主要结果

Ξ13=Y11-Y12+Y13+Y21-Y22+Y23+Y31-Y32+Y33-P12,

Ξ23=3R-Y11+Y12-Y13+Y21-Y22+Y23-Y31+Y32-Y33,

证明本文构造了如下Lyapunov-Krasovskii泛函

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

结合式(8)和式(9)中的第一项，再利用引理1，得到：

(11)

(12)

(13)

3 数 例

例1对于区间二型时滞模糊系统(3)，当s=2时，各参数矩阵选取如下：

表1 给定不同的μ值得到的d值比较

通过改变μ来获得使系统(3)渐近稳定的最大允许时滞上界d,并与文献[2]、文献[4]的方法比较，结果如表1所示。由表1可以明显看出：使用本文方法得到的最大允许时滞上界d比文献[2]、文献[4]得到的值大，说明本文所得到的稳定性准则的保守性更小。

例2对于区间二型时滞模糊系统(3)，当s=2且μ未知时，各参数矩阵选取如下：

表2 不同方法所得到的稳定性结果比较

采用本文方法，使用MATLAB中的LMI工具箱, 得到使系统(3)渐近稳定的最大允许时滞上界d,并与文献[3]、文献[4]的方法比较，结果如表2所示。

由表2可以明显看出：使用本文方法得到的最大允许时滞上界d比文献[3]、文献[4]得到的值大，且决策变量数比文献[4]的少，说明本文所得到的稳定性准则的保守性更小。

4 结束语

本文研究区间二型时变时滞模糊系统的稳定性分析问题。首先，分析现有文献中存在的问题;然后，构造一种带有三重积分项的增广Lyapunov-Krasovskii泛函,并结合二阶Bessel-Legendre不等式、倒数凸组合的方法以及扩展的Jensen不等式得到该Lyapunov-Krasovskii泛函导数的紧上界;最后，以线性矩阵不等式形式给出一个具有较小的保守性且决策变量数较少的稳定性判据。本文未考虑区间二型时变时滞模糊系统的控制器设计问题，下一步将对此展开相关研究。