(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的逼近

查星星，程一元

(巢湖学院数学与统计学院,安徽 合肥 238000)

0 引 言

在无穷区间上，Szász-Mirakyan算子是近似函数的主要工具之一，具有简单而实用的结构，长期受到学者们关注。随着q微积分在逼近论中的发展，q-Szász-Mirakyan算子[1]被提出，并研究其逼近性质。同时，q微积分也广泛应用于其它正线性算子，出现了大量q型算子，如q-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子[2]、q-Bernstein-Schurer算子[3]、q-Baskakov-Stancu-Kantorovich算子[4]等。

由于q微积分的推广，(p,q)微积分也相继引入正线性算子的研究。2015年，M.Mursaleen在文献[5]中首次应用(p,q)微积分构造出(p,q)-Bernstein算子，实现了q型算子的推广。之后，大量(p,q)型算子被相继提出。2015年，文献[6]基于(p,q)-Jackson积分构造出(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子。2016年，文献[7]介绍了(p,q)-Szász-Mirakyan算子，并证明该算子的加权逼近定理、收敛速度及Voronovskaja定理。同年，文献[8]应用(p,q)-Jackson积分构建另一种(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子并给出相关的逼近定理。由(p,q)-Jackson积分定义易知，构造以上2种(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的函数f必须为非减函数，表明在应用这2种算子处理逼近问题时存在一定的局限性。为了解决此局限性，本文去除前面(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子中非减函数的条件，利用(p,q)-Riemann积分重新定义一种新型的(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子，并证明其逼近定理。

1 相关定义及引理

设0

(p,q)-Riemann积分的定义：设f为任意函数，0≤a

(1)

(p,q)-Jackson积分[7]的定义：

则在[a,b]上的(p,q)-Jackson积分[7]为：

(2)

定义1[6]设0

(3)

利用(p,q)-Riemann积分定义式(1)构造新型(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子，定义如下：

定义2设f为[0,∞)的连续函数，0

(4)

引理1[6]设0

Sn,p,q(1;x)=1

Sn,p,q(t;x)=qx

引理2设0

证明通过(p,q)-Riemann积分定义及[k+1]p,q=p[k]p,q+qk计算易得结论，证毕。

引理3设0

证明由(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子定义式(4)及引理1、引理2，计算可得结论，证毕。

引理4设0

证明根据(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的线性性质，并结合引理3易得结论，证毕。

其中α,β,γ为实数。

推论由注释的内容，可得以下等式：

2 主要结果

B2[0,∞)={f∶[0,∞)→R;|f(x)|≤Mf(1+x2)}，其中Mf是依赖于函数f有关的常数。记函数类

C2[0,∞)=B2[0,∞)∩C[0,∞),

证明根据Korovkin定理易知，只需证

用同样的方法，可得m=2时，

|f(t)-f(x)|≤|f(t)-f(x0)|+|f(x)-f(x0)|

所以

采用α阶Lipschitz型极大函数对算子逼近速度进行估计，此函数为：

定理3设0<α≤1,f∈CB[0,∞),则∀x∈[0,∞)都有

证明根据α阶Lipschitz型极大函数的定义可知

于是有

证毕。

下面介绍(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的Voronovskaja定理。

由Cauchy-Schwartz不等式计算得

结合推论可得

证毕。

3 结束语

本文在原有的(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的基础上，除去f为非减函数的条件，重新构造新型(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子，并讨论其逼近结论，从而进一步推广了之前的逼近效果。