基于知识图谱的中考数学单元复习

□应佳成

（杭州市富阳区教育发展研究中心，浙江杭州 311400）

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称课标）是现行义务教育数学学科的教学执行标准，以往由于地方考纲的存在，教、学、评各方对课标的理解往往是通过考纲的折射来体现.2019 年12 月，教育部发文要求“取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题，不得超标命题”.教、学、评各方的目光重新聚焦于课程标准，但是课标对教学仅做单元规划，具体到操作层面，需要明确以下问题：单元内具体知识之间有何关联？如何将单元内容准确分解为具体知识点？分解后的知识点需要达成何种水平？如果对课标理解不一致，可能会导致对学习内容的把握发生偏差，增加复习成本，加重课业负担.因此，对课标的深度理解成为当下共同关切的核心问题.

以构建“单元知识结构图”和“单元知识目标谱”来解读课标，是一种创新解决方案.笔者以“三角形（初步认识）”单元复习为例，展开具体阐述.

一、用结构图解读单元逻辑关系

结构图是以系统化的数学知识为依托，以逻辑关系为线索，并基于可视化需要所构建的单元知识整体框架，对单元知识的学习起到宏观指导作用.

结构图的构建需要经历三个层次：依据知识的整体性研究课标要求、依据知识的研究方式确定复习逻辑、依据知识蕴含的思想方法构建结构图.具体操作步骤如下.

第一步：研究课标要求

构建结构图之前需要依据课标研究单元内容分布，并从数学的整体性视角挖掘分析这些内容之间的关联，对内容蕴含的学习重难点、数学思想方法、学科核心素养进行全面分析，才能构建出整体思路，确定出复习方向.“三角形（初步认识）”的内容，课标中相应要求处于“图形与几何→（一）图形的性质”板块，涉及2个条目的内容（详见表1）.

表1

从表1可以看到，三角形（初步认识）聚焦概念、要素、相关要素等知识内容的研究.由于三角形是最主要的几何图形，三角形的性质是研究其他几何图形的基础，而且三角形的研究内容、路径、过程和方法具有一般意义，其中的数学思想方法具有普适性，因此对三角形概念及性质的复习是单元复习的重点.

第二步：确定复习逻辑

从课标编排看，三角形（初步认识）的内容处在“图形的性质”板块.从本质上看，在任何一块知识的学习和整理过程中，概念都是首要的，概念中蕴含着研究对象的性质.基于几何研究逻辑，还需要区分清楚哪些性质与图形的要素有关，哪些性质与图形的相关要素有关.因此要将三角形复习的逻辑确定下来：三角形概念（定义、表示、分类）是起点，性质的复习依据基本要素（边、角）和相关要素（高线、中线、角平分线、外角）进行划分.三角形基础知识的复习逻辑就此确定.

第三步：构建知识结构图

基于以上对三角形（初步认识）学习内容和复习逻辑的分析，整理出内容板块之间的架构：将三角形（初步认识）单元内容分解成概念、要素、相关要素三个小板块，用复习逻辑和思想方法对三个小板块加以关联，进一步构建、绘制和显示板块间的相互联系，整合成一个单元，用框图形式直观呈现，获得如图1 的单元整体结构图.

图1

结构图的构建以知识为内容，以数学内部逻辑为发展脉络，以思想方法为统领.这样的结构图知识点清晰，逻辑关系明确，各部分以合理（有序）的结构形成整体，整体功能大于各个部分功能之和.

二、用目标谱制定单元目标执行标准

从操作层面看，结构图有利于整体把握关键内容和结构体系，但每个知识点的学习要求是什么？需要达成何种水平？学习目标如何定位？评价标准是什么？这些问题在结构图中难以直观反映出来.因此，结构图需要有具体内容的细化补充，需要对具体知识点进行精确分解（目标分解），需要对知识内容做出明确达成度要求（标定水平），需要为教、学、评三方提供明确的操作标准，知识点目标应运而生.

目标谱是对知识结构图的补充和详解，是“具体化”“可操作”“可检测”的单元目标执行标准.与图的制作相呼应，目标谱的构建需要经历三个层次：获取目标内容、标定目标水平、制作目标谱.具体操作步骤如下.

第一步：获取目标内容

从具体操作看目标分解，需要对单元目标进行更为具体、更为详细的描述，需要明确学生会进行哪些判断，会做哪些事，掌握哪些技能，会分析解决什么问题等等，使得知识点目标“具体化”“可操作”“可检测”.分解得到的知识点目标就是复习指标，直接指向学生初中学业完成后需要达成的结果.

比如课标中对“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一定理明确了目标要求，其中蕴含着四方面的具体要求：“画三角形的外角、识别三角形的外角、用符号语言表述三角形外角定理、用‘三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和’定理解决问题”等.通过分解，将一条几何定理拆分成四条具体要求，涵盖了几何定理学习过程中图形、符号、逻辑推理等各个环节的要求，知识目标一目了然.

第二步：标定目标水平

精准分解并制定知识目标，还需要对目标达成水平做出明确界定，因此读懂课标里的目标水平是关键技术.课标对目标达成水平用了解、理解和掌握三个层次加以规定.课标中对这三个水平的基本含义解释见表2.

表2

课标中还提供了与上述术语同等水平的替换词汇（详见表3）.

表3

在具体分解的过程中，由于操作方式的不同，需要用到“能说出、能画出、能运用、能证明”等具体操作方式，类似的操作方式还有很多，表3的可替换行为动词详解是课程标准提供的，便于教师、学生准确把握知识点的要求.

“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一定理课标要求，在准确分解并标定水平后的具体执行标准见图2.

图2

第三步：制作目标谱

目标谱的制作可以真正在目标体系层面系统地解决教、学、评一致性的问题.在制作的过程中注意不重复不遗漏，覆盖全部知识点；知识点既独立可测又要相互关联，形成既松散又有机关联的整体，保持思想方法的一致性，这些源于对数学知识体系的理解.表4是三角形（初步认识）单元的知识谱.与图1相呼应，一图一谱，完成了对课标“图形与几何→（一）图形的性质→三角形（初步知识）”的完整解读.

表4

知识点目标的分解是综合考虑单元教学目标、教学内容特点及学情的结果，这些目标用“谱”的形式呈现：“谱”中的“知识点目标”是单元目标的分解，可以使教师备课和制作质量检测工具具有高度的一致性，更可以使中考复习方式具有“可复制”性，为区域教学质量获得保障提供可能.

从“结构图”和“目标谱”可以看出它们之间具有如下关系：“图”宏观引领教学，可以使中考复习的整体结构清晰明了；“谱”精准分解知识目标，可以使复习靶向实施；“图”育“谱”，“谱”释“图”，“图”为纲，“谱”为目，纲举目张，有效实施教学和精准复习，使时间效率最大化，复习成果最优化.

以结构图和目标谱对课程标准进行深度解读，是基于教、学、评一致性原理，为教、学、评一体化提供共同的执行标准，不但有效解决取消考纲后对课程标准进行准确解读的需求，更是落实核心素养的一种创新操作途径.从课程标准中分解出教学目标图谱为教、学、评各方达成一致提供顶层引领，可以有效解决由于理解课标不到位可能产生的偏差、不对标甚至不公平等现象.

以结构图和目标谱为引领进行中考复习的操作模式可复制、易理解、易推广、易操作，这是改变复习范式的先决条件.在图和谱统领下的中考复习，是基于广泛需求的水到渠成的复习范式创新.这样的复习方式以目标谱为基本验收标准和依据，同时可以借助目标谱对所有知识点进行基础排查，对已经达成的目标不再浪费时间增加负担，将精力聚焦于目标达成存在困难的且具有共性的问题上，有针对性地突破难点，使复习更加精准高效.