基于真实问题设计促进数学深度学习的教学——以“变量与函数”教学为例

□易良斌

（杭州市江干区教育发展研究院，浙江杭州 310020）

教学变革，要从教学方案的设计变革开始，设计者要充分挖掘课堂学习内容与学生生活经验的链接，寻找已有知识、技能、方法与新学习内容的关联，为学生提供学习资源丰富而有意义的、学习路径多样且具选择性的、能引发认知冲突又有挑战性的、学习经历与结构清晰的学习指导方案.

教学中落实好数学学科核心素养的关键是要结合相应的教学内容，在落实“四基”、培养“四能”的过程中，在基于学情的真实“问题组”引领下，推进学生积极地深度思维，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.

下面，以“变量与函数”教学为例，探讨真实问题引领下的数学深度学习.

一、案例呈现

（一）以标为纲，精研教材

1.基于课程标准的学习目标定位

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》针对“变量与函数”教学内容设计的教学目标为：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．

探索属于过程性目标，探索规律是要通过探索得到规律，转换成认知目标应该是“推断”；“了解常量、变量的意义”是通过实际例子归纳、总结，能举例说明常量、变量的意义；结合实例了解函数的概念，是“总结”；了解三种表示法需要对三种表示法进行“比较”；能举出函数实例，即要求能够“举例说明”“解释”；结合图象对实际问题中的函数关系的分析是“解释”；确定简单函数自变量的取值范围是一种方法，关键是对它的“解释”；“能确定……”则是对方法的执行，求函数值，就是“执行”求值方法；能用适当的表示法刻画变量之间的关系需要选择，对三种方法进行“比较”；刻画简单的实际问题是对方法的“执行”；结合对函数关系的分析进行初步讨论是一种“评论”．

学习目标定位：（1）知识技能：了解常量与变量的含义，能分辨实例中的常量与变量；在丰富的现实情境中领悟函数的概念，掌握函数的三种表示方法．（2）数学思考：经历常量与变量、函数的探索与抽象概括过程，感受数学建模思想和变化与对应的数学思想．（3）问题解决：通过几个具体事例中的数值变化与变量之间的关系的函数表达，锻炼学生的抽象思维能力和分析问题能力．（4）情感态度：在经历现实情境下对变量与常量以及函数概念的抽象过程，感受数学在生活中的应用价值，培养对数学的研究兴趣，感受成功探索发现的愉悦．

教学重点为探索变化过程中的数量关系和变化规律.

教学难点为体会变化过程中两个变量间互相依赖的关系，尝试归纳函数的定义.

2.义务教育数学课程的各版教材中《变量与函数》学习资源对比

在人教版教材中，从两个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义做了铺垫，接下来利用圆面积公式和等腰三角形问题让学生感受几何中的两个变量间的相互依存关系，并尝试把实际问题抽象为代数表达式.最后回归到生活中的气温变化和学生身边的变化关系举例，尝试用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化.

浙教版教材则是从常量、变量的观点出发，有机地结合学生所熟悉的实例，引入函数的概念及与函数有关的概念、函数的图象、函数的三种表示方法.运用跳远、气温变化、骑自行车时热量消耗与体重等大量实例，体现数学与生活相结合之美.

北师大版教材把《变量之间的关系》列为单独一章（七年级下册第四章），依托丰富的直观背景，重视变量之间关系的三种数学表示方法，强调对变量关系——特别是一个变量的变化引起另一个变量发生什么样变化的理解.侧重用图象法来表示变量之间的关系，从“形”的侧面对函数形成直观、整体的认识.对函数的学习放在八年级上册第四章《一次函数》第一节，利用具有函数关系、生动有趣、简单而又能说明问题的“摩天轮问题”这一生活实例，从图象和表格两个方面，让学生体会思考其中蕴含的变量之间的关系；热力学温度与摄氏温度的数量关系这一问题，则直接用关系式表示变量之间的关系.从这种特殊的变量间的关系引出函数的定义以及表示函数的三种方法.

（二）以生为本，深度学习

师：人间四月天，我从杭州到安徽来和大家一起学习《19.1.1 变量与函数》，你认为老师出发前要做哪些准备？

生：（七嘴八舌）课件、习题、火车票……

1.真实问题学习，经历函数概念的提出、抽象的过程

师：我若开车，以80km/h 的速度匀速行驶，情形会是怎样的？请看大屏幕.

学习资源1：汽车若以80km/h的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th.

表1

问题1：填表1.

问题2：请你确定一个时间，算出行驶路程.

问题3：从上述过程中，你感受到哪些“变与不变”的量了吗？

问题4：请你用一句话来描述变量t和s之间的关系.

问题5：请你用一个式子来表示变量t和s之间的关系.

问题6：汽车若以akm/h 的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th.在这个过程中，变量和常量又是哪些？

【设计意图】通过问题情境体验生活中的变与不变，经历“代一代”的方式，每确定一个时间t，行驶路程s总是唯一确定.通过问题串的设计，启发学生思考，从数到字母的层层递进，经历从特殊到一般的过程，促进变量与常量概念的形成，引导学生从具体情境中抽象出数学概念的学习过程.

师：在路上我们感受到黄山风景的优美！

学习资源2：2008 年以来黄山旅游人数（见表2）.

表2

问题1：在这个过程中，变量和常量是哪些？它们之间的关系是怎样的？

问题2：2019 年的旅游人数a是确定的吗？为什么？

问题3：2020 年的旅游人数b会是多少呢？（追问：你能估计出b的值吗？说说你的理由）

问题4：你能说说旅游人数及数据a，b与年份的变化规律吗？

【设计意图】通过问题情境体验列表中的变与不变，通过“查一查”的方式，每确定一个年份，旅游人数总是唯一确定.2019 年黄山旅游人数是多少，现在还没有统计的数据，但等到对2019 年旅游人数统计完毕后，最终会有唯一确定的人数.通过“2020 年的旅游人数会是多少”的估计将“唯一确定”的讨论引向深入，而变化规律的提炼和表达为学生理解函数概念的本质留下思考和表达的空间.

师：在路上我们也感受到黄山气温的适宜！

学习资源3：我们了解到黄山某一天气温的变化情况，如图1.

图1

问题1：在这个过程中，变量和常量是哪些？它们之间的关系是怎样的？

问题2：8时的温度是多少？

【设计意图】通过问题情境体验图象中的变与不变，通过“画一画”的方式，每确定一个时间t，温度T总是唯一确定.

问题3：上述表1、表2、图1 三个变化过程都有什么共同特征？

【设计意图】在对具体实例特性进行分析的基础上，引导学生从不同实例的特性中发现和归纳共性，在说明和辨析问题的共性中抽象出函数概念的本质特征，然后由学生自主表征身边的变化关系，再用新学习的数学语言刻画函数概念.

2.自主合作探究，促进函数概念形成

（1）你能归纳出这些变化过程中变量之间关系的共同特点吗？

归纳共同特点：

①与有没有常量无关，必须有两个变量.

②与能不能用解析式表示无关.

③取定其中一个变量确定值，另一个变量唯一确定.

（2）函数的概念.

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

发生在我们身边的这些变化都表现为变量的对应关系，这种对应关系常常用函数模型来描述，而函数概念的形成却经历了一个长期发展的过程，根据课前预习，你能概述函数概念的发展历程吗？

【设计意图】关于函数概念的发展历史、函数中文名字的由来的探索，使学生触摸史实背后的价值.

3.引发认知冲突，在辨析中深化概念理解

学习资源4：各位同学，我们初步理解了函数的概念.随着年龄x（岁）的变化，我们的身高y（cm）会发生变化，体重z（kg）也会发生变化.那么，你能用我们今天所学的知识来描述它们之间的关系吗？两两之间是否具有函数关系？

探究参考资源：某同学年龄x（岁）与身高y（cm）、体重z（kg）的变化情况见表3.

表3

问题1：y是x的函数吗？问题2：x是y的函数吗？问题3：y是z的函数吗？问题4：x是z的函数吗？问题5：z是x的函数吗？问题6：你能提出一个新问题吗？

【设计意图】学生以个体的年龄与身高、年龄与体重、身高与体重等变化这一实例（正例、反例）为载体，具体辨析一个量的变化是否引起另一个量的变化，进一步辨析函数概念的三个基本要点，分析概念关键词的含义，更准确地把握概念的内涵.

4.解决真实问题，在应用中巩固概念

师：在路上我们遇到了汽车加油的问题！

学习资源5：从杭州出发时，汽车油箱中有汽油50L，如果中途不再加油，那么油箱中的存油量y（单位：L）随着行驶路程x（单位：km）的增加而减少，耗油量为0.1L/km.

问题1：写出y与x的函数表达式；问题2：当x=100 时，求函数值；问题3：请你确定一个x，再求函数值；问题4：请求出自变量x的取值范围；问题5：当汽车油箱中的油量为5L时，警示灯就会亮起，在警示灯亮起前汽车能否到达距离杭州312km的祁门县？

生1：方法一，50-5=45（L），45÷0.1=450（km），450＞312，所以能够到达.

生2：方法二，当y=5 代入y=50-0.1x，解得x=450，450＞312，所以能够到达.

生3：方法三，当x=312 代入y=50-0.1x，解得y=18.8，18.8＞5，所以能够到达.

【设计意图】在“生活现象—抽象问题—数学表征—拓展应用”的过程中，指导学生学会对数据的准确分析；在代数式向函数转化的数学建模活动中，体会用新的函数知识解决生活问题的数学过程.

师：在课堂中，我们经历了哪些学习过程？掌握了哪些知识和方法？

【设计意图】利用框架图进行课堂小结的设计，促进学生知识、方法、数学思想的自主归纳、自主建构，促进知识、方法的系统化.

师：时间过得真快，和同学们相处得十分开心！请大家再联系！

学习资源6：在国内投寄平信应付邮资见表4.

表4

问题1：四名同学的四封信件质量分别为5 克、20 克、40 克和50 克，则他们分别付邮资多少元？y是m的函数吗？

【设计意图】从“出发前”的准备，到“在路上”的所见所感，再到“在课堂”的精彩表现，最后到离别前的“再联系”，从课堂的完整性方面顺势引发学生急需对邮寄信件知识理解的愿望；更是进一步辨析、深化理解函数概念的需要，实现“多对一的唯一确定形式”，突显生活与数学的联系.

5.开放拓展应用，整体把握概念

学习资源7：拓展应用.

问题2：尝试构建一个变化过程，使其中的变量关系可以用y=x（10-x）来描述.

问题3：向同学、家长介绍艾宾浩斯遗忘曲线带给我们的学习启示.

【设计意图】让学生充分体验生活实例中函数的多种表达方式，全方位认识函数.进一步感知函数的概念，学会用函数的观点观察、分析、解决我们身边的问题，也为后面将学习的二次函数、反比例函数提供生活背景.

6.目标反馈检测，指向深度学习

学习资源8：学习检测.

问题1：表5 是某次数学测验中项目学习小组同学的成绩表，把学号和分数分别记作两个变量m和n，下列选项正确的是（ ）.

表5

A.m是自变量，n是m的函数

B.n是自变量，m是n的函数

C.A和B的说法都是正确的

D.A和B的说法都是错误的

问题2：用16 米长的绳子围成一个矩形.（1）若矩形的周长为16，矩形的面积为s，一边长为x，请用含x的式子表示s，s是x的函数吗？（2）若矩形的面积为16，矩形的邻边长为y，一边长为x，请用含x的式子表示y，y是x的函数吗？

问题3：根据所学的函数概念做出判断.

（1）关系式y=x2中，y是x的函数吗？为什么？

（2）关系式y2=x中，y是x的函数吗？为什么？

（3）正方形的边长为x，面积为s，s是x的函数吗？x是s的函数吗？说明理由.

【设计意图】函数的概念，来源于生活，应用于生活，从解析式、图象和表格三个方面设计问题，通过正例反例的呈现，引发学生对函数的认知冲突，辨析概念，加深对函数的理解.问题的设置一方面进一步巩固函数的概念，另一方面该问题正好蕴含初中阶段的三种重要函数类型，对后续的学习形成期待与展望.

二、教学反思

（一）问题引发知识联系，相互关联的问题组设计是深度学习的前提

利用三个实例，设计相互关联的三个问题组，它们分别以解析式、表格、图象的形式呈现两个变量之间的关系，帮助学生透过表示形式发现变化过程中两个变量之间的本质关系.注重概念应用生活化，在概念形成后，又将数学知识运用于生活，给学生提供了广阔的交流空间.让学生感受一个个变化的过程，在量的分类中提炼出常量、变量的定义，从各个变化过程中提炼函数的定义等，发展学生的数学抽象能力；把各个量分成两类，分类讨论，从变化过程中发现若干特征，再把若干特征整合成三个特征，归纳成函数的定义等，较好地发展学生的逻辑推理能力；函数概念的形成过程发展了学生的数学建模能力.本节课设计的例子都具有生活背景，能帮助学生体会现实生活中存在大量的函数关系的问题.基于真实问题的学习，对学生初步建立函数观念大有裨益.

（二）质疑激活深度学习，结构清晰的问题组设计是深度学习的路径

为破解学生对函数和变量的陌生感，我们创造性地将知识融入生活实例中，把本来看似抽象的知识变得通俗易懂.从生活实例中抽象出变化的量以及量与量之间存在的对应关系，了解客观世界中量与量之间关系的多样性、复杂性.通过学生多角度概念辨析，加深对概念的理解.在本节课的教学中，学生始终围绕着如何判断“函数关系”这一问题，通过正例分析明确函数概念中的三个层次，即“变化过程”“两个变量”“唯一确定”；又以反例帮助学生理解“唯一确定”.这样的问题组设计为学生面对复杂而陌生的新问题学习提供结构清晰的学习路径，体现核心素养中的抽象思维的培养和放眼看世界的观察、分析、总结、归纳的推理能力的培养.

（三）互动引导深度对话，突显本质的问题组设计是深度学习的关键

教学中鼓励学生主动地开展观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动，使学生了解不同的思考途径所带来的新的认识，更进一步适时地引导学生总结获得知识规律、解决问题的方法，并将它们上升到方法论的层面，善于反思等.通过学生互动交流、问题解决和自我反思，让学生参与概念的形成、发展和应用的过程.重视自主学习与合作学习，努力体现学习共同体对学生学习的推动作用，在互动中辨析质疑、在互动中理解提升，很好地实现师生智慧互激、共同发展.学生在经历对问题的深度探究后获得数学活动经验的积累，学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界，较好地实现了本节课的育人价值.