高中数学一导二研三拓展思路下的阅读教学

□唐明超

（昆明高新区第三中学，云南昆明 650503）

新课标提倡学生要尝试自主阅读、动手操作、自主探究、小组合作等学习方式，在经历观察、猜想、推理、交流等过程中进行数学学习，进而深度认识数学，培养数学学科核心素养.

读题不准，题意理解不到位，问题解决效率低是很多高中学生在数学学习与考试过程中经常碰到的问题.为帮助学生有效解决以上问题，笔者做了一导二研三拓展思路下的阅读教学尝试.现结合《圆锥曲线的光学性质及应用》一课的教学过程阐述如何导、如何研、如何拓展，呈现一条有效提高高中生数学阅读能力的实践路径.

一、导——指导学生阅读并提取信息

问题1请同学们认真阅读材料并提炼出探照灯及太阳灶的设计原理.

教师提出指向明确的问题，让学生清楚学习任务并带着问题去阅读材料，寻找关键信息.学生获得学习任务后认真阅读素材，整合素材信息并用自己的语言将其表达出来.

【设计意图】以问题为导向，引导学生自主阅读文本，提炼出文本中的关键文字信息，遵循层级递进式教学原则，尊重学生的认知发展规律.

问题2你能用数学语言描述探照灯与太阳灶的设计原理吗？

教师将问题数学化，引导学生尝试用数学语言来描述设计原理；展示学生的探究成果并进行点评总结，生成抛物线的一条重要几何性质——从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（以下简称“性质1”）.学生思考并进行展示，在交流与点评的过程中深化对抛物线重要几何性质的识记，并得出以下的数学语言描述.

性质1已知抛物线C:y2=2px(p＞0)，从焦点处发出的光线经过抛物线上任意一点P(x0,y0)(x0≠0)反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

【设计意图】通过阅读与交流实现将文字语言转化为数学语言，为后面探究、证明与应用该性质做铺垫.

二、研——设置问题串引导学生挖掘问题本质

问题3请同学们结合所学知识尝试证明性质1.

教师提出问题后，给学生留出充分思考的时间，注意观察学生的思考状态及过程，挖掘学生的探究成果及解答亮点，给学生足够的时间去展示自己的证明思路和证明过程.教师适时请学生进行点评并完善补充解题方法，深化学生对问题本质的理解，充分展示解法背后的整个逻辑推理过程和解法生成的前因后果，为学生优化思考问题的方式搭好脚手架，真正起到展示解答过程对学生的示范与启发作用，实现所有学生都有收获并获得相应的发展.

学生基于已有知识经验认真思考，寻找解决问题的办法并展示证明过程，在同学展示证明过程的同时积极反思自己的思维误区或者优化自己的思维方式，让会做的学生拓宽视野，暂时不会做的学生找到方法并经历解法生成的整个过程，真正实现班级学生的全面提高与整体发展.

【设计意图】学生通过阅读材料已经能够挖掘出抛物线的光学性质1，但是该性质如何证明还未弄清楚，所以引导学生尝试证明该性质很有必要.一方面可以巩固所学的抛物线的相关基础知识，另一方面经历猜想与论证的逻辑推理过程可以帮助学生提高分析问题并解决问题的能力，有效地发展学生的数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养.

学生1：如图1，直线BE是过抛物线C上任意异于坐标原点O的一点P(x0,y0)的切线，直线PC是过点P(x0,y0)且垂直于BE的直线，所以直线BE可以理解为平面镜，直线PC为法线，直线FP为入射光线，直线PD为反射光线.要证明反射光线PD平行于x轴，只需要证明∠EPD=∠PBF.根据光学性质知入射角等于反射角即∠FPC=∠DPC，从而余角也相等即∠BPF=∠EPD，所以只需证明∠BPF=∠PBF即可，亦即证明BF=PF.对抛物线C的方程求导得yy'=p，所以从而kPC=令y=0 得所 以将y02=2px0带入得得证.

图1

解法点评：充分挖掘了问题中所隐含的几何性质，基于几何性质尝试用求导的方法得出切线的斜率，再用点斜式给出切线方程；由两直线垂直的性质给出法线的方程，进而得到线段BF与PF相等，基于三角形的边角关系得出结论.从作图到推理证明的整个过程充分体现了数形结合的思想与转化与化归的思想，而且巧解复合函数的导数得出切线的斜率，足以看出学生的功底扎实，说明学生对之前所学的基础知识能够做到灵活运用.

学生2：如图1，根据抛物线的定义作PA垂直准线于点A，要证明反射光线平行于x轴，只需要证明PD即为反射光线，即证明∠DPC=∠FPC.对抛物线C的方程求导得yy'=p，所以kBE=不妨设由到角公式得tan∠FPC=将y02=2px0代入得所以tan∠DPC-tan∠FPC=0，即∠DPC=∠FPC.

解法点评：该生的证明从问题出发，结合抛物线的定义及光学性质，实现了代数与几何的合理转换，用到了到角公式这一高中现行教材中的拓展内容，也足以说明开展阅读课教学的作用和意义.运算过程相对复杂，对数学运算能力要求较高，说明该生的数学运算核心素养发展得较好.

学生3：如图2，可以先假设反射光线平行于x轴，由几何意义知只需要证明直线PP'与C相切于点P即可，即证明直线PE上异于点P的任意一点P'均在抛物线的外部即可，也就是点P'到准线的距离 ||P'A'＜ ||P'F恒成立；由抛物线的定义知PF=PA，作∠FPA的角平分线PE，所以有∠APP'=∠FPP'，从而△P'PA≅△P'PF，所以 ||P'A= ||P'F＞ ||P'A'，足以证明P'均在抛物线的外部.

图2

解法点评：该生的逻辑推理能力值得大家学习，逆向推理证明用得恰到好处，解法简练，突出重点，对思维能力要求较高，不失为一种很好的解法.

三、拓展——突出应用促进问题深化

问题4椭圆与双曲线有类似的性质么？

教师给出层级递进式的问题，实现将问题的逐步深化；学生清楚学习任务并带着问题去阅读材料，寻找关键信息并用自己的语言将其表达出来.

【设计意图】在第一个重点问题解决之后以层级递进式的问题引导学生进行更深入的探究，整个过程既显得自然流畅紧密衔接，又能深化知识的逻辑联系，符合学生的认知发展规律.

学生通过阅读提取文本信息，经表达交流、总结完善后，得出类似于性质1 的两个如下重要性质.

性质2从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一个焦点.

性质3从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，也可以看成是反射光线的反向延长线经过另外一个焦点．

问题5你能类比抛物线性质1的证明方法证明性质2与性质3吗？

问题层层递进，驱动学生一步步深入思考与探究，教师观察学生的思考与证明过程，适时进行点拨.学生类比性质1的证明方法寻找性质2与性质3的证明思路.

【设计意图】以问题为驱动力，层层推向深入，意在引导学生经历问题的发现、提出与思考并解决的过程，帮助学生养成观察、猜想、证明的学习与探究的习惯，有效提升自主学习的能力.

通过教师的引导与学生的认真思考，类比性质1 的证明过程，得到如下性质2 与性质3的证明过程.

证明性质2：如图3，点P为抛物线上异于长轴端点的任意一点（若处于长轴端点则有F1,F2,P三点共线，结论自然，不用赘述），左右焦点分别为F1,F2，先假设从F1出发的光线经椭圆反射后反射光线过F2，由光学性质知，若直线PA为切线，定存在直线PB为法线使得∠BPF2=∠BPF1成立.倒推回来，问题的关键是只需证明∠F1PF2的外角平分线PA是过椭圆上一点P的切线，即证明点P为切点，只需证明角平分线PA上异于点P的点P'都在椭圆外部，即证明 ||P'F1+ ||P'F2＞ ||PF1+ ||PF2；在直线PF1上选取点C，使得PC=PF2，所以△PP'C ≅△PP'F2，从而得到P'C=P'F2，基于线段的等量代换得到 ||P'F1+ ||P'F2=|P'F1|+ |P'C|＞ |F1C|= |PF1|+ |PF2|=2a，所以点P是唯一存在的，即为切点，得证.再作∠F1PF2的角平分线PB，明显PB⊥PA，性质2证毕.

图3

证明性质3：类比性质1 及性质2 的证法，如图4，作∠F1PF2的角平分线PA，再证明PA上异于点P的点P'都在双曲线外部（为了区别，将含双曲线焦点的区域称为双曲线的内部），只需证明 ||P'F1- ||P'F2＜ ||PF1-|PF2|，如图知 |PF1|＞ |PF2|，在直线PF1上取点D使得PD=PF2，则△PDP'≅△PF2P'，从而 有P'D=P'F2，且 ||P'F1- ||P'F2=|P'F1|- |P'D|＜ |F1D|= |PF1|- |PD|=|PF1|-|PF2|=2a，所以点P是唯一存在的，即为切点，得证.再作∠F1PF2的外角平分线PB，明显PB⊥PA，性质3证毕.

图4

解法点评：性质2 与性质3 的证明过程均很好地体现转化与化归的数学思想，由结论出发，逆向推理，找出问题的关键点给予证明；而且都紧紧扣住定义，还原了问题的本质，解法简洁明了，不失为一种好方法.

问题6 除了以上的证明方法，你还能类比抛物线性质1的导数证明方法证明性质2与性质3吗？

【设计意图】限于学生实际学情与课堂教学时间，本堂课只能完成以上的探究过程，设置问题6 一方面是为了引发学生进一步思考如何利用导数实现代数证明，同时也是给学生设置了一个较好的课后作业，引导学生带着问题开展更进一步的研究.