对一道关于三角函数高考题的教学思考与延伸

何正文

(广东省肇庆市百花中学 526000)

2019年高考三角函数题型是我们教学的典型而且普遍的题,而且与课本有很多联系，但是因为很多老师备考时没有重视，没有充分挖掘其关系，备考中往往事倍功半.我们要从这次高考试题所蕴含的价值,重视高考试题的教学启发作用,是提高高三复习效率的关键途径，促使高三教师能够在课本习题与高考试题之间搭建关联.下面谈一谈教师关于解三角形教与学的思考与适度延伸，希望对您有一些帮助.

例1 (2019年全国1卷理(17))△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

(1)求A；

一、试题解析

1.试题解答

解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．

因为0°

sinC=sin(C+60°-60°)

2.题意分析

解三角形题在高考题属中偏易难度，几乎所有高三数学老师要求学生对此类问题基本能得到高分.而且此类题型的确容易上手.本题的破解需要考生对结论有一个预见性的思维模式.

3.此题在教材上的对应类题

题2 (人教A版高中数学《必修5》教材习题1.2A组(14))在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

解法同例1：利用余弦定理、正弦定理、c=acosB+bcosA可证明结论.

反思以上高考题(17)是教材A习题(14)的深度加工，并且均可以从正弦定理余弦定理等角度进入思考、做出解答.高考题(17)相比之下让考生更加容易入手.

4.本题在高考中的类题

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

反思以上从三个角度思考有关边角关系的三角形问题，我们比较发现此时利用任意三角形性质更为快捷得出正确结论.

二、引发的教学思考与延伸

1.重视课本例习题发散思考，一题多变

在教学中，需要我们重视课本的例习题对知识的分析变形运用功能，教学中利用例题、习题适度改编，强化重要定理公式或重点结论，由此可培养学生发散思维.

题4 (人教A版必修5第4页例2) 在△ABC中，a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

改编1： 在△ABC中，a=16,b=26,A=30°,解三角形.

改编2：在△ABC中，a=30,b=26,A=30°,解三角形.

改编3：在△ABC中，若b=2asinB，求A的大小.

改编5：在△ABC中,已知C=2B,求bc的取值范围.

改编6：在△ABC中,已知A+C=2B,b=1，求a+c的取值范围.

题5 (人教A版必修5P10习题1-1B组2)在△ABC中,如果有性质acosA=bcosB,试问这个三角形的形状具有什么特征？

改编1：在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状有什么特征？

改编2：在△ABC中,已知sinC=2sinAcosB,试证明△ABC是等腰三角形.

2.重视高考试题的教学功能，一题多解

学生在求解此类题目时，由于对正弦定理、余弦定理意义与特征掌握不够到位，教师可以注重引入相应高考试题的一题多解，引导学生从知识不同角度入手，从某个相关公式思考，从有关图形思考，或者等价转化成另外一类熟悉的问题进行探讨.