分类讨论思想及其在高中数学教学中的应用

赵玉才

【摘要】分类讨论思想是一种重要的数学思想，在求解某些问题方面往往可以起到化繁为简的作用，不仅有利于提高学生解题能力，同样有助于促进他们思维能力的发展，加强分类讨论思想在学科教学中的渗透显得尤为关键.以高中数学学科为例，对分类讨论思想及其应用要点进行重点探讨，希望可以助力新课程下高中数学高效课堂构建.

【关键词】高中数学;分类讨论思想;应用策略

在新一轮课程改革背景下，培养学生的学科核心素养，促使学生“智”与“德”同步发展是各学科教学的根本出发点.其中，“智”层面的学科素养是促进学生学科关键能力发展，其中涵盖了数学思维能力、创新能力等.但是，以往的学科教学只注重按照教材开展知识讲解，却忽视了常用数学解题思想与方法的专项指导，进而限制了学生数学思维能力发展以及学科核心素养的形成.为了满足新课程改革下高中生数学学科核心素养培养要求，加强分类讨论思想等数学思想在课堂教学中的融入研讨显得尤为重要.

一、分类讨论思想在高中数学教学中的应用意义

在进入高中阶段之后，数学内容在“质”与“量”层面都有了很大程度的提升，大大增加了学生的学习难度，同时他们平时遇到的数学问题难度也越来越大，如果单纯采取“套公式”“套模板”的固定式解题思维，那么显然已经无法有效解决这些复杂、高难度的综合性数学问题.而分类讨论思想不单单是一种数学思想，同样是一个有效的问题求解对策，对锻炼学生逻辑思维能力有帮助，可以使他们懂得利用分类处理的方式优化问题解题思路，提高他们的归纳总结能力、问题分析和解决能力等.

二、分类讨论思想在高中数学教学中的应用策略

（一）基于数学概念进行的分类讨论

在高中阶段的数学学科学习过程中，有绝对值、分段函数、斜率几个关键的概念，它们本身的概念界定方面存在一定“分类”性，这使得它们在实际的数学应用中需要根据不同的条件确定不同的内容，经过分类讨论分析方可最终确定定值.因此，涉及这些相关数学概念的问题求解，可以创新应用分类讨论思想来有效解决这些问题.

1.基于绝对值概念的分类讨论

在碰到包含绝对值的数学问题时，常规的解题思路是依据绝对值的基本定义，采取零点分类法将相应的绝对值采取分类的方式去掉.

2.基于分段函数概念的分类讨论

分段函数，顾名思义，就是根据定义域的不同，相应的函数表现出差异性.针对分段函数问题的求解，由于其分段性特征的存在，使得问题求解过程中无法按照连续性函数的求解思路与方法进行求解，这样会直接影响解题的准确性，所以在相应问题求解过程中也需要运用分类讨论思想加以解决，针对不同段的函数采取差异化的求解方法.

3.基于函数斜率概念的分类讨论

在使用点斜式对直线方程进行表述时，由于需要讨论直线斜率本身的存在性，这就使得其需要进行分类讨论才能保证整体函数分析的全面性与合理性.

例3 在xOy这一平面直角坐标系中，已知双曲线C1：2x2-y2=1和椭圆C2：4x2+y2=1.其中点M和点N分别为双曲线与椭圆上面的一个动点，且已知OM⊥ON，试证明点O点到直线MN的距离为定值.

解析 针对这一问题的求解，在求解过程中需要对直线斜率是否存在进行分析，针对不同的情况，都要结合已知条件进行论证分析才能得到最终的结论，否则如果不考虑直线ON的斜率，那么无法论证全面.

（二）基于数学运算进行的分类讨论

在开展数学运算的过程中，其中不乏一些遇到开平方或者需要分情况讨论的运算情况，这时候为了快速解决问题，就必须及时进行分类讨论，保证可以快速、准确地求解相应的数学问题.

由此可知，在求解数学运算问题时，需要结合实际的运算情况，灵活地选择分类讨论思想来简化问题，保证可以快速找到解题的突破口，增强分析问题的全面性与有效性.

（三）基于公式限制进行的分类讨论

在高中阶段的数学学科知识学习过程中涉及数列领域的通项公式等众多数学计算公式，它们本身涉及不确定的参数，并且参数的不同会得到不同的计算公式.针对这些涉及具体数学公式的数学问题求解，就需要借助分类讨论思想，针对不同的公式分类情况来进行深入分析活動，保证可以更好地提升数学问题的求解准确度与效率.

（四）基于参数变化进行的分类讨论

在数学问题求解时常常会涉及许多未知参数，由于它们本身的未知性使得实际的问题求解中常常会因为参数取值的不同而产生不同的结果，所以在实际的相关问题求解过程中要注意以参数为基准来进行分类讨论，以此确保最终问题分类讨论结果的准确性.

（五）基于不确定性进行的分类讨论

在当前高中阶段的数学学科教学过程中，由于涉及向量、图形等一些抽象的知识，并且它们本身涉及的题目中也涉及一些未知性，这种“宽泛”的解题条件使得问题求解中需要考虑更多的因素.针对这种情况，也需要借助分类讨论思想来对相应的问题进行系统化梳理，保证可以借助不同条件下的“定式”问题求解来最终找到解决问题的答案.

例7 已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且a，b，c=1，2，3，试求a+b+c的最大值.

解析 鉴于题目中给出的向量都属于未知值，条件不足或未知在一定程度上影响了计算结果的差异性，所以为了顺利解决这道题，需要针对不同的情况来采取切实可行的处理手段与策略.在本道数学题中，在a+b和c保持同向的状态下，待求值a+b+c可以取得最大值.但是由于|a|，|b|，|c|三者的不确定性使得问题求解中需要及时开展分类讨论.

综上所述，在三种不同的情况下，|a+b+c|的最大值各不相同.通过对比这三个结果的大小，最终可以求得|a+b+c|的最大值为5+3.

综上所述，分类讨论思想是一种提高高中生数学解题能力的一个有效数学思想.在实际的数学教学过程中，教师可以结合数学概念、数学运算、公式限制以及参数变化等为特征的数学问题，针对性传授给学生分类讨论思想的基本应用情况，保证不断提升他们的数学问题求解能力.