信息技术与复合函数教学的整合案例

华南师范大学数学科学学院

现代认知心理学认为，学习是学习者以信息的输入、编码为基础，根据已有经验及认知结构，主动建构内部的心理表征，进而获得心理意义的过程.数学学习是对学生知识、技能、概念、法则在心理上组织起恰当的有效认识结构，使之成为个人内部的知识网络的一部分.数学学习水平的层级划分对数学教学有着不容忽视的意义.

1 设计的背景

函数是贯穿高中数学课程的主线，而复合函数作为函数知识的重要组成部分，是历年高考的热门考点.同时，复合函数与导数、不定积分等有密切的联系，是数学学习的基础.理解复合函数的概念及性质，对数学学习有着举足轻重的作用，有助于学生进一步完善数学知识结构.

从数学必修一开始，不少习题就与复合函数有密切的联系.然而，人教版高中教材中关于复合函数的概念直到选修2-2 才正式给出，并且是一种描述性的定义，还不能算是严格定义.许多教师在教学时只是简单介绍这一定义及其常用性质，不少学生对复合函数的理解只是知其表面形式，经不起推敲，对其单调性的判断方法“同增异减”更是云里雾里，停留在机械记忆的阶段.

虽然受高中生认知水平的局限，我们不可能要求学生严谨地理解复合函数的本质，但如果教学中能采取适当的方法，将会有助于复合函数这一难点的学习.

2 设计的理念

根据皮亚杰的建构主义学习理论，本设计以学生为主体，利用信息技术，融入数学实验活动，为学生理解复合函数知识搭建“脚手架”.

3 设计的创新之处

3.1 选题具有价值

复合函数的教学至关重要，然而现阶段，针对复合函数知识理解的实证研究非常少.因此，以复合函数为选题，创新教学设计，具有教学价值.

3.2 教学手段新颖

充分使用现代信息技术，利用各种丰富的感性材料，引领学生主动参与、发现、探究、解决问题，从而深化学生对复合函数知识的理解，开发学生的创新潜能.

4 教案

4.1 教学背景

【教学对象】中等水平及以上学校的高一学生

【课时安排】40分钟

【学情分析】

(1)认知基础：学生已学习过函数的相关概念及其性质，能理解映射的含义，具备用定义法判断函数单调性的能力.

(2)认知障碍：外函数与内函数的分辨，复合函数几何意义的理解.

【教学目标】

(1)知识与技能

(2)过程与方法

通过参与发现、探究、分析、归纳等数学活动，理解复合函数，体会“同增异减”的内涵.

(3)情感态度价值观

在主动参与数学活动的过程中，提高自信心，增强数学学习的兴趣.

【教学重点】复合函数的概念、“同增异减”的内涵；

【教学难点】中间变量、外函数及内函数三者的辨别、复合函数的几何意义；

【教学方法】引导探究法

【教学工具】几何画板、MATLAB、PPT

4.2 教学过程设计

4.2.1 创设情境，引入新知

(1)我们已经学习了函数的概念：设A,B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数，记为

函数是两个集合之间的对应关系.常见的函数如y=3x+2,y=2x，都可以轻易地找到这种对应关系，画出函数图象.但有时候，我们遇到的函数的形式比较复杂，比如y=(log3x)2+2 log3x+1，函数图象不容易画出来，那么，如何确定这种函数的性质呢?

设计意图提出问题，激发学生产生弥补“心理缺口”的学习动力.

(2)引导学生观察发现，x都是以log3x的形式出现，如果设u=log3x(x ＞0)，则y=u2+2u+1，变成我们比较熟悉的二次函数的形式.这样，通过在x,y之间搭一座桥u，我们化复杂为简单.

(3)提出疑问：这座桥的建立是否合理? 建了这座桥之后又可以带来一些怎样的便利? 有什么新发现?

图1 中间变量搭桥图(PPT展示)

4.2.2 设计实验，探索新知

实验一

【实验目的】直观感受映射的含义，理解复合函数的中间变量的含义，学会区分外函数以及内函数.

【实验设备】几何画板

【实验方法】制作几何画板动画，通过几何画板的对应和跟踪功能，展现映射含义以及复合函数的中间变量的动态变化过程，引入复合函数、外函数、内函数的概念.

【实验过程】

(1)教师演示

图2 映射的含义

设计意图通过描点绘图，让学生直观感受映射的含义.

(2)教师演示

图3 中间变量的变化过程

设计意图把中间变量分离出来，通过图象让学生直观感知中间变量的变化过程，形成中间变量的概念表象.

(3)教师演示

图4 外函数、内函数的图象

设计意图画出外函数、内函数的图象，为学生理解外函数、内函数的概念提供直观材料.

(4)概念形成

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f[g(x)].这里f称为外函数，g称为内函数，变量u称为中间变量.

(5)学生操作

把上面做好的几何画板文件发给学生，学生上机操作，并尝试仿照上述步骤，画出其他复合函数的图象，分辨中间变量、外函数与内函数.

实验二

【实验名称】复合函数的几何意义

【实验目的】将复杂的数量关系转化为图象特征，从“形”上理解复合函数.

【实验设备】计算机MATLAB 软件

【实验方法】编写MATLAB 程序

【实验过程】

(1)理解y=f(x)在坐标系的图形表现形式

在平面直角坐标xOy中，y=f(x)表示一条曲线C，而在空间直角坐标系O-xyz中，y=f(x)表示的是：以xOy中平面曲线y=f(x)为准线、母线平行于z轴的柱面S，如图5所示.

图5 y = f(x)在空间中的几何意义

(2)理解复合函数的几何意义

以(log3x)2+2 log3x+1为 例，令u=log3x，则y=u2+2u+1.在三维空间直角坐标系O - xyz中，外函数y=f(u)的图象是以y=f(u)为准线，母线平行于x轴的柱面(图6.1).内函数u=g(x)的图象是以u=g(x)为准线，母线平行于y轴的柱面(图6.2).复合函数y=f[g(x)]可以看成是方程组：消去变量u得到的方程.因此，复合函数的几何意义可以看成是两个柱面相交得到的交线(图6.3)在xOy平面的投影(图6.4).

图6 y = f(x)在空间中的几何意义

(3)交流讨论，理解函数复合的条件

引导学生思考函数复合的条件，回答情境引入中提出的问题，并进一步思考如何确定复合函数的定义域与值域.

(4)小结

由上可知，复合函数y=f[g(x)]的几何意义可以看成是两个柱面y=f(u)及u=g(x)相交得到的交线在xOy平面的投影.因此，函数能够复合的条件是y=f(u)的定义域D与函数u=g(x)的值域Z有交集，即D ∩Z /= ∅.想一想，如果D与Z没有交集，那么两个柱面就没有交线，自然谈不上投影，此时复合无意义.

实验三

【实验名称】利用“同增异减”判断复合函数单调性

【实验目的】理解利用“同增异减”判断复合函数单调性的内涵，会利用“同增异减”求复合函数的单调区间.

【实验设备】几何画板

【实验准备】学生分组

【实验过程】

(1)提出问题：复合函数的单调性与其内、外层函数的单调性有关系吗?

(2)参考实验一图4的绘制方法，运用几何画板绘制复合函数、内函数、外函数图象，观察函数单调性，填写表1.

表1 复合函数的单调性判断

(3)讨论与交流

组内、不同组间进行讨论交流.

(4)归纳与猜想

由以上实验，我们猜想：对复合函数，在某个区间上，如果内函数是增函数，外函数也是增函数，那么复合函数单调递_____； 如果内函数是增函数，外函数是减函数，那么复合函数单调递_____；如果内函数是减函数，外函数也是减函数，那么复合函数单调递_____；如果内函数是减函数，外函数是增函数，那么复合函数单调递_____；即“同增异减”.

(5)验证与数学化

证明：仅证明若内、外函数均是增函数，则复合函数也是增函数，其他同理.设f[g(x)]的定义域为X.∀x1＜x2∈X,u=g(x)是X上的增函数，所以u1=g(x1)＜g(x2) =u2,u1∈U,u2∈U.又y=f(u)在U上是增函数，所以f(u1)＜f(u2)，即f[g(x1)]＜f[g(x2)].根据函数增减性的定义，f[g(x)]在X上是增函数.

(6)知识迁移，深化应用

对于由多个函数复合而成的函数，“同增异减”的规律还可以运用吗？试用几何画板探究这个问题，填写下表，总结规律.

表2 由多个函数复合而成的函数的单调性判断

4.2.3 总结升华

本节课，我们借助几何画板及MATLAB 程序，对复合函数有了直观的认识，了解了复合函数的几何意义.通过小组合作，进行实验探究、猜想、验证，我们还总结出了复合函数的单调性的判断方法“同增异减”.今后学习数学的过程中，也要继续保持这种探索、挖掘的精神，不断进步.

5 结语

信息技术的革新不断影响着教学的发展.《普通高中数学课程标准》指出，“教师应重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合.”诚然，信息技术的适当利用，不仅能为学生解决问题提供直观，还能启发学生思维，突破教学难点，是时代所驱.教师在教学实践中可积极探索信息技术与课程整合的有效途径，提高课堂效率，实现教学结构的最优化.