精选素材，巧求15°角的三角函数值

广东省佛山市顺德区顺德德胜学校

特殊角的三角函数值，是我们比较喜欢在图形中研究和用来考查同学们应用知识能力的一个重要知识点.笔者在教学中，结合对北师大九年级(下)27页的复习题第22题的研究和思考，引导学生思考探讨：应用锐角三角函数定义求15°角的三角函数值问题.

原题如下：

把一条长1.35m的铁丝弯成顶角为150°的等腰三角形，求此三角形的各边长(结果精确到0.01m).

图1

笔者在挖掘教学素材时，总想改编为让学生不用精确到0.01，而直接保留根号的计算结果.于是结合图形，引导学生通过构造含30°角的直角三角形加以解决，其关键就是解决15°角的三角函数值的问题.

解如图1，在ΔABC中.因为AB=AC,∠BAC=150°，所以∠B=∠ACB=15°.过C作CD ⊥AB交BA的延长线于点D,则在RtΔACD中，∠CAD=30°.设CD=1,则AC=2,AD=所以AB=AC=2.BD=AB+AD=2+√所以在RtΔCBD中，tan ∠CBD =即但当要求sin 15°,cos 15°时，需要BC的长度，这时根据勾股定理可得所以

到此，对BC的进一步化简技巧，成了绝大部分同学的难以逾越的障碍.由此，大部分同学对sin 15°,cos 15°的函数值望而却步.

对这个问题的探讨，人教版的九年级(下)教师教学用书(2014年10月第1版，2017年9月第5次印刷)在167页的拓展性问题也进行了相关研讨，原文如下：

1.不查表，你能求15°的三角函数值吗？

【答案与提示】构造一个有一个锐角为15°的直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解.

解如图2，作ΔABC,使AB=AC,且∠BAC=30°,过点A作AD ⊥ BC于点D,过点C作CE ⊥ AB于点E.

图2

不妨设AB=AC=2a，则CE=a,AE=所以

在RtΔBCE中，由锐角三角函数定义，得sin 15°=

教师用书中同样涉及到的化简运算技巧问题.

这时，我们自然会想到，当一副三角板叠放在一起时，也有15°的角，能否用平常用的三角板，构造出适当的图形，解决上述问题？其实课本也有相应的背景素材，北师大七年级(上)199页的复习题第29题：利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看.150°,15°,105°,135°.

拼出15°的方式很多，下图3是一种，将平常学生用的两块三角板叠放在一起，则∠BAD=15°.

图3

图4

在这里，发现∠BAD=15°并不是一件难事，但构造出适当的直角三角形却不是一件易事.其中的一种方式过程如下：

解：如图5，延长AD,CB相交于点F,过B作BE ⊥ AF于E,设BC=1.则在RtΔABC中，因为∠BAC=30°，所以AB=在RtΔACD中，因为∠DAC=∠ACD=45°，所以

图5

在RtΔACF中，因为∠FAC=∠AFC=45°，所以所以1.在RtΔBEF中，BE=EF=所以在RtΔABE中，tan ∠BAE=

显然，对学生而言，添加3 条辅助线来构造出直角三角形，也不是一件容易的事.于是，在对图形的观察和思考后，我通过优化三角板，为同学们的学习铺垫了一个台阶.具体操作如下：

图6

图7

如图6，7，把直角边一样长的两块三角板重叠放置.对于这样优化了的两个三角形重叠，同学们比较容易找到并构造出相应的直角三角图形，就可轻松求出∠BAD的三角函数值.过程如下：

解：如图8，过B作BE ⊥AD于E，设BC=1.则在RtΔABC中，因为∠BAC=30°，所以AB=在RtΔADC中，因为∠DAC=∠D=45°,所以CD=所以

图8

在RtΔBDE中，因为∠D=45°所以BE=DE=所以AE=AD - DE=

所以，tan ∠BAE=

当然，构造15°角的方式比较多，如按图7，8 摆放和构造适当的直角三角形，也能帮助我们的同学求出15°角的三角函数值，现简述如下：

图9

图10

解：如图11，过A作AE ⊥ BD于E,过C作CF ⊥ AE于F.设AC=1.则在RtΔABC中，因为∠ABC=30°，所以AB= 2,BC=在RtΔBCD中，因为∠DCB=∠DBC=45°，所以CD=BD=

图11

在RtΔACF中，因为∠ACF=∠CAF=45°，所以所以BE=BD -DE=AE=EF+AF=CD+所以tan ∠BAE=

在后来的教学中，源于我本着对课本素材的思考和加工习惯，沿着相关问题的提出，更加巧妙地运用课本素材，进一步让学生轻松理解并掌握了上述求值问题.具体过程如下：

在北师大九年级(上)173页的复习题3中：3.已知：如图12，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.求证：∠CEF=∠CFE.

图12

本题的解决方案并不算复杂，学生很快通过全等证明到上述结论成立.我对本题的图形观察思考后，认为值得深度挖掘，于是提出了下面两个问题：

(1)若正方形的边长为1，求CE的长；

(2)在(1)的条件下，求∠BAE的三角函数值.

学生经过一番思考，计算后，大部分同学都能求出上述的值.现将过程表述如下：

解(1)设CE=x,则BE=1-x,根据CE=CF,易得在RtΔABE中，由勾股定理得解得所以

(2)由(1) 可得在RtΔABE中，

当学生经历运算后，让学生再仔细观察，发现：∠BAE=15°！至此，15°的三角函数值，得到满意的解决.再向同学们提出新的问题：你会求tan 75°,sin 75°,cos 75°的值吗？

深入挖掘和研究学习素材，能有效地提升学生对知识的理解和应用，提升解决问题的能力.