动中分析，静中求解——谈中考动态几何压轴题的解题策略

广东省惠州市第三中学

几何直观与推理是“图形与几何”学习中的两个重要方面，在图形运动的过程中体验、认知、探究数学，是对几何直观与推理的综合考查，解决动态几何题型正是学生全方位能力的集中体现.动态几何题型已成为广东中考数学的热点题型，纵观近十年广东中考数学试题，可以发现压轴题均以动态题型出现，由些可见，要想在中考数学中脱颖而出，掌握这类题型的一般解题规律与方法显得十分重要.

动态几何题型通常分为三种类型：点动问题、线动问题、面动问题，它所考查的知识面特别广，对学生综合能力的要求比较高，所蕴含的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，转化思想等.解决这类题型，要充分发挥对动态图形的想象能力，根据点，线或面的运动与图形的变化过程，对其产生的不同结果进行分析求解.本文以近几年广东中考题为例，谈谈几何动态题型的分析思路与解题策略.

1 动中取静

由于动态几何题型中图形的不确定性，往往会给解题带来不少的困扰，如果只会从运动的角度进行思考，那么解题思路就会存在各种的疑惑，这对分析与解决此类问题都非常不利.一般来说，静止的图形较易辨识，因此，我们在解决动态问题时若能根据所提问题中满足某种特定条件的情况提取出来，将图形和相关几何量都“静”下来，抓住变化中的“不变”，这样就可以缩小解题思路范围，排除“动态”干扰，锁定目标，在静态中求解，从而轻松得出相应结果.

例1(2017年广东中考第25题)如题25 图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A,C的坐标分别是A(0,2)和点D是对角线AC上一 动点(不与A,C重合)，连结BD,作DE ⊥DB，交x轴于点E，以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.

(1)填空：点B的坐标为_____；

(2)是否存在这样的点D，使得ΔDEC是等腰三角形?若存在，请求出AD的长度； 若不存在，请说明理由；

解读本题是属于点动的问题，题中的问题(1)是在图形静止的情况下求点B的坐标，这跟大多数动态题型的第一个问题一样，比较基础，较易得分.问题(2)就是属于运动情况下讨论等腰三角形ΔDEC的存在问题，通过充分考虑点D的运动规律后，我们是可以判断满足条件的点D是存在的，当然还要分类：如果ΔDEC是等腰三角形，那么有1○DE=EC；2○DE=DC；3○DC=CE三种情况.通过分析可知，在点D的运动过程中，有充分的理由可以说明DE与DC始终不会相等，由此得出成立，这时我们就要将点D固定在两种情形，即如图(1)和图(2)所示，如此就将动点问题转化在静止状态下求解，目标明确，便于解决问题.具体过程如下：

因为∠DEC ＞90°,均不符合题意，应舍去.

综上所述：AD的值为2或者ΔDEC为等腰三角形.

2 数学建模

图形的运动变化过程中，必然会产生不同的变量对应关系，函数的核心就是运动变化，它是描述变量之间对应关系的模型.近十年的广东中考数学题中，几乎每年的压轴题都有考查图形运动前提下的最值问题，最值是由不同变量的值对应而产生的，这就需要建立函数的模型进行求解，即根据题意所涉及的等量关系，应用方程思想，求出相应的函数解析式，将几何问题转化为函数的最值问题.

例2以2017年广东中考数学25题的问题(3)为例(题同上)：(3)求证：设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用的结论)，并求出的最小值.

解读本小题中矩形BDEF的面积是随着AD的变化而变化的，说明矩形BDEF的面积y与AD的长存在对应关系，题目也明确要求函数关系，通常情况下最值问题均要用到二次函数模型，因此可判断y关于x的函数关系式属于二次函数.解法上可以根据的结论和勾股定理等知识，将矩形BDEF中相邻两边DE和DB用含x的式子表示出来，再由矩形面积公式即可得出结果.过程如下：

图(3)

所以，y=BD·DE=

当x=3时，y取到最小值，最小值为3.

3 分类讨论

在动态几何题中，由于点，线或面的运动，使得图形也发生不一样的变化，某些问题的结果也就存在不确定因素，这就需要将可能出现的结果进行分类讨论，逐一列举，才能得出全面的答案.从近几年广东中考数学压轴题所考查的数学思想来看，分类思想是必考的核心思想，可以说分类讨论是解决动态问题的常用思想方法.2017年广东中考数学25题的问题(2)已有体现，下面再举一例.

例3(2014年广东中考25题) 如图(4)，题25-1图，在ΔABC中，AB=AC，AD ⊥BC交BC于D,BC=10cm,AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB,AC,AD于E,F,H,当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t ＞0).

(1)当t=2时，连接DE,DF,求证：四边形AEDF为菱形；

(2)在整个运动过程中，所形成的ΔPEF的面积存在最大值，当ΔPEF的面积最大时，求线段BP的长；

(3)是否存在某一时刻t，使ΔPEF为直角三角形? 若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由.

图(4)题25-1

解读本题是属于点动与线动结合的题型，在问题(3)中，问是否存在某一时刻t，使ΔPEF为直角三角形，从直角三角形的特征与点P的运动轨迹可以判断：使ΔPEF为直角三角形的情况有三种，分别是∠PEF=90°,∠EFP=90°,∠EPF=90°.所以解决问题(3)时，就需要分类讨论，根据以上三种可能情况进行分析与求解，当中将用到相似三角形，三角函数，勾股定理的逆定理等知识.具体过程如下：

(3)如图(5)，过E,F分别作EN ⊥ BC于N,FM ⊥ BC于M，易知EF=MN=由AB=AC可 知BN=CM=在RtΔACD和RtΔFCM中，由即解得FM=EN=2t，又由BP=3t知CP=10-3t,则

图(5)25题问题(3)

分三种情况讨论：

4 界点确定

在分类讨论的动态问题中，为了能得到更加准确与全面的答案，有时需要根据图形运动的距离与位置进行界定，从而得出针对不同问题的对应取值范围.解决这类问题的关键是分界点的确定，通常需考察点或线的特殊位置，如分界不清晰，则思路会比较混乱，自然会对解题造成影响.

例4(2013年广东中考25题) 有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°,DF=4,DE=将这副直角三角板按如图(6)题25 图(1)所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.

(1)如题25 图(2)，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_____度；

(2)如题25 图(3)，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

(3)在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围.

图(6)题25

解读本题属于面动的问题，在问题(3)中，由于三角板DEF在运动时与另一块三角板重叠部分的面积变化没有固定规律，位置不同重叠部分的面积变化情况存在差异，因此应根据三角板DEF不同的运动位置进行分类，确定图形运动中的分界点，进而求出对应的x取值范围以及相应的函数解析式.从重叠部分的面积变化可以确定三个分界点，一是从开始到DE与AC重合；二是DE与AC重合起至EF过点C；三是EF过点C到F与A重合.

具体过程如下：

(3)如图(7)，设过点M作MN ⊥AB于点N，则MN//DE,∠NMB=∠B=45°,所以NB=MN,NF=NB -FB=MN -x.因为MN//DE，所以ΔFMN∽即所以MN=当0≤x ≤2时，如图(7)，设DE与BC相交于点G，则DG=DB=4+x.所以即

图(7)

图(8)

图(9)

综上所述，当0≤x ≤2时，当时，y=当时，y=

以上就是笔者对动态几何题型解题方法与规律的肤浅看法.解决此类与运动变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解.要想真正领悟这类题型的解决方法，首先是要准确把握图形运动特征，寻找有助于解题的特殊位置；其次在整个解题过程中，除熟练、综合运用代数与几何知识之外，还要能深刻领会数学建模、分类讨论、数形结合、转化等数学思想，在过程中感悟，在感悟中提升.数学思想与数学方法是数学的核心，是衡量学生数学水平的重要标准，而动态几何题型又是考察学生能否综合运用知识、思想与方法的重要体现.在平时的教学中，教师应在讲授知识的同时要有意识地根据知识特征渗透数学思想与方法，让学生树立以数学思想与方法为核心的学习观，体验数学思想与方法在解决复杂数学问题时所起的关键作用，通过日积月累，使学生形成牢固的知识与方法体系.另外，针对动态几何题型的解题方法方面，教师应能根据不同的题型，有目的地进行专题训练，让学生明确化“动”为“静”、数学建模、数学思想等的重要性与一般应用规律，这在培养和提高学生综合运用数学知识的能力方面定会有意想不到的收获.

当然，中考数学动态几何题是属于选拔性题型，它对学生的各方面数学能力要求较高，要熟练掌握这类题型的一般解题规律与方法的前提是有扎实的数学基础与数学功底，同时也要能根据不同的问题熟练运用各种不同的数学方法与思想.因此要想在这类题型解法上有所突破，需要学生平时打牢基础和教师的针对性方法引导，两者缺一不可.