一类具有饱和发生率和恢复率的生态流行病模型

冯宇星，雒志学，胡永亮，梁丽宇

(兰州交通大学 数理学院，兰州 730070)

1 模型的建立

建立具有饱和发生率、恢复率和HollingⅡ功能反应函数的生态流行病模型：

(1)

其中：S表示易感食饵；I表示染病食饵；Y表示捕食者；r表示内禀增长率；k表示环境容纳量；β表示传染率系数；α是抑制系数；γ表示庇护系数；c1,c2分别表示捕食者对染病食饵和易感食饵的捕食率系数；d1,d2分别表示染病食饵和捕食者的死亡率；δ表示染病食饵的恢复率；e(0

2 系统解的有界性

证明：定义函数N(t)

N(t)=S(t)+I(t)+Y(t).

该方程沿系统(1)的解关于时间t的导数是

即:

由于

0d2,

故

定义方程

当t>T时，由比较定理得

3 平衡点的存在性和稳定性

通过解下面方程组：

易求得系统(1)有以下平衡点：

定理3.1系统(1)的零平衡点E0不稳定.

证明：系统(1)的线性化系统在点E0处的Jaccobi矩阵为

对于零平衡点E0，其Jaccobi矩阵的特征方程为

(λ-r)(λ+d1+δ)(λ+d2)=0.

显然，该特征方程存在两个负实根和一个正实根，故E0是一个鞍点，且不稳定.

证明：系统(1)的线性化系统在边界平衡点EK处的Jaccobi矩阵为

对于边界平衡点EK，其Jaccobi矩阵的特征方程为

由此可得特征根为

当R0<1，R1<1时，边界平衡点EK将局部渐近稳定，而当R0>1或R1>1时，边界平衡点EK不稳定.

定理3.3当R0<1，R1<1时，边界平衡点EK全局渐近稳定.

证明：构造Liapunov函数V=eI+Y沿着系统(1)的轨线关于t求导得

且系统(1)在E中存在最大的不变集M=E={I=0,Y=0}再由LaSalle不变集原理可知，对于系统(1)的一切解均有

证明：模型(1)的线性化系统在点E*处的Jaccobi矩阵为

对于无病平衡点E*，其Jaccobi矩阵的特征方程为

证明：构造Liapunov函数V=I沿着系统(1)的轨线关于t求导得

(2)

令t=(m+(1-γ)S)τ，则系统(2)化为

取Dulac函数B(S,Y)=S-1Yn-1，则有

现在只需要证明存在实数n，使得φ(S,n)≤0即Δ<0，即

再令

(λ-a33)(λ2-(a11+a22)λ+a11a22-a12a21)=0,

下面证明该平衡点的全局渐进稳定性.

构造Liapunov函数V=Y沿着系统(1)的轨线关于t求导得

(3)

则

4 系统的一致续存

证明：考虑平均Liapunov函数V(S,I,Y)=Sα1Iα2Yα3(α1,α2,α3>0)则