巧用中点解题

吴妍迪

【摘 要】 中点是初中数学几何问题中经常出现的特殊点，利用这个特殊点构造直角三角形斜边中线、中位线这两种辅助线，往往能让我们快捷地寻找到合适的解题方案。

【关键词】 中点;直角三角形斜边中线;中位线

线段的中点把线段分成长度相等的两个部分，是几何图形中的一个特殊的点。图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想。解题中，经常需要根据问题具体情境，利用中点构造恰当的辅助线，解决问题。下面结合几道例题具体谈谈如何巧用中点解决问题。

例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE。求证：CD=2CE。

分析：从条件分析，图中出现了两个中点：E为AB中点，B为AD的中点。而E、B在边AD上，不能发挥中线或中位线的作用。但从结论分析，此题目求证的是长度的2倍关系，联想到三角形中位线、直角三角形斜边上的中线构造辅助线，然而此题未出现直角，只能构造中位线，并且构造长度为DC一半长度的中位线，即找到了以B为一端点的中位线。

所以，取AC中点F，连接BF。BF为△ADC的中位线，BF=CD，易证△EBC≌△FCB，则CE=BF，得证。

小结：本题中直接给出一个中点，认真审题后不难发现：点B是线段AD的中点。当已知条件中出现中点时，常常构造三角形中线或中位线来解题。又因为求证倍半关系，在未出现直角的情况下，选择构造三角形中位线求解。

例2：如图2，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG。

（1）求證：EG=CG;

（2）将图2中△BEF绕B点逆时针旋转45?，如图3所示，其他条件不变，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由。

分析：（1）本小题要求证的线段EG、CG分别是两个直角三角形△EFD、△CFD内的线段，而G点为公共斜边DF上的中点，则EG、CG分别为两个三角形斜边上的中线，易联想到直角三角形中线性质定理，DF为公共边，从而证明两条线段相等。

（2）本小题在进行旋转变换后，DF的中点G不属于直角三角形中，EG、CG不再是中线，无法发挥三角形中线的作用。按照题（1）的经验，如果能构造出直角三角形斜边上的中线模型，即可得证（见法一、法二）。如果不构造直角三角形，那么借助中点，仍可联想中位线模型尝试解决（见法三）。

法一：借助EF⊥AB，构造直角三角形。延长EF与CD交于点H，连接GH（如图4所示）。此时GH为Rt△FHD的中线，是DF长度的一半，与GF长度相等，从而易证△EFG≌△CHG，得证。

法二：借助DF的中点G、EF∥AD，构造“×字型”全等及直角三角形。延长EG与AD的延长线相交于H点，连接EC、HC。（如图5所示）此时，EG=GH，G为EH的中点。又易证△EBC≌△HDC，则∠ECH=90°，从而用直角三角形斜边上的中线得证。（也可用其他方法得到，如证明△ECH为等腰直角三角形等）

法三：借助DF的中点G，取AE的中点H，连接AG，如图6所示，此时GH为梯形EFDA的中位线，与EF平行，加之H为AE的中点，易证△AGE为等腰三角形，AG=EG。由对称变化可得AG=GC，从而得证。

小结：本题第一小题给出具有公共边的两个直角三角形，利用斜边上的中线证明线段相等，给出中点联想三角形中线的方法。运用到第二小题，只给出中点，对比第一小题，缺少直角三角形的条件。通过对题目已知条件的分析，利用EF⊥AB、DF的中点G分别构造直角三角形模型，解决问题。同时，在没有出现直角三角形的情况下，运用中点联想到常用的中位线模型，同样能快速解决问题。

直角三角形中斜边中线及其性质在直角三角形中起着重要作用，除了出现2倍关系之外，这条中线还把直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形，借助中点，如果我们能把握图形特征，恰当构造出直角三角形斜边上的中线，借助它的性质，往往能帮助我们迅速打开解题思路，顺利解决问题。

中位线是三角形中具有重要性质的线段，三角形中位线定理更是平面几何中具有重要价值的定理，它既呈现出了线段之间的位置关系，又传递了线段长度的关系，在一些几何解题中，我们常常会见到它的身影，特别是又遇到了中点，往往会联想到三角形中位线，利用中位线定理建立模型，解决问题。

巧用中点解决问题，当我们把握住图形的特征，读懂题目条件的含义，分析结论，构造恰当的中线及中位线，就能帮助我们迅速、正确地解决复杂问题。