结构与方式：探寻小学数学教学的价值

编者按

对价值的追求是任何活动的本质目标，“怎样的数学学习是有价值的”，这个问题始终在叩问每一位数学教师，浙江省朱向阳名师工作室团队也在持续关注并不断探索。本期专栏选取了他们团队实践探索的部分成果。《结构与方式：探寻小学数学教学的价值》提出知识结构比知识数量更有价值、思维方式比解题技巧更有价值，并以教学实践为例，进行提炼拓展。后四篇文章探讨了如何立足学生的学习起点，选用有趣、有层次、有挑战性的学材，注重过程突破学习难点，着重关联突出育人价值，践行了实施精准教学、促进深度学习，探寻小学数学教学的育人价值。

【摘 要】小学数学教学中存在不少浅尝辄止、以偏概全、本末倒置的现象，虽然许多并非教师有意为之，但对数学教与学的价值认识是重要原由。本文以实践为例，探寻小学数学教学的价值，通过纵横联系，提出知识结构比知识数量更有价值;通过追本溯源，认识思维方式比解题技巧更有价值。

【关键词】知识结构 思维方式 教学价值

对价值的追求是任何活动的本质目标，小学数学教学活动也不例外。小学数学教学活动该追求怎样的价值，理解起来却并非是一件易事，需要对数学的本质和后续学习的需要做出判断和思考。

一、纵横联系：知识结构比知识数量更有价值

小学数学的教学活动离不开知识的学习，从知识的数量和结构角度看，会产生一对矛盾：是追求知识数量的积累，以便为后续的数学学习在数量上做好准备重要;还是注重知识之间的内在联系，通过构建良好的知识结构，为后续数学学习在结构上做好准备重要。下面以“三角形的分类”教学为例。

因为多边形都可以分割成若干个三角形，所以三角形是平面图形中最简单最基本的多边形。学习三角形，为学习其他多边形积累经验，在平面几何图形学习中具有基石作用。“三角形的分类”是其中一个重要内容。

1.价值分析

教学实践中有两类不同的价值追求倾向，一类是以体验过程为价值追求，注重让学生进行自主分类，学生因为分类能力的局限，教学活动往往感觉过程困难且效果甚微;另一类是以掌握知识为价值追求，注重学生对分类结果的掌握，尽管学生在学习活动中完成了知识的积累，但缺乏分类活动的充分体验，分类能力提高不大。两类不同的教学价值倾向所产生的问题，其关键都源于对“分类”的价值认识。分类是作为区分不同事物、发现事物本质特征的重要手段，它的基础在于对事物本质特征的认识，可以因为标准的不同而产生不同的分类结果。因此，“三角形的分类”不仅要让学生掌握两类不同的分类结果，更重要的是在这个活动中对三角形特征的认识更为深刻和全面，让学生在分类活动中体验到对平面图形的认识往往会从角和边两个角度加以观察和刻画，作为基本多边形的三角形自然不例外。

从数量积累角度看，其知识点包括：认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以及等腰三角形、等边三角形的特点;掌握三角形按角可分为三类;知道等腰三角形和等边三角形的关系。

从知识结构角度看，其至少包含三个方面。

一是概念的独特性。每一类三角形的概念都有特定的内涵和外延。

二是观察的两维性。对每一类三角形内涵和外延的界定或是从线的方面，或是从角的方面。更为细致的可以从线与角两个维度同时观察，线与角也是对平面图形特征认识的两个维度。

三是分类的多元性。因为观察的两维性，分类因角度和标准的不同也就有了多元性，可以从角的方面进行分类，可以从边的方面进行分类，也可以同时考虑边和角进行分类。

认识三角形边和角的特点和选择不同的分类角度对其进行分类，是建立本课知识结构的两个关键点。

2.教学实践

（1）谈话引入，感悟分类起点

师：（先贴出六个三角形）在看到第七个三角形之前，请你想一想它会和这六个三角形有什么共同的地方？

生：都有三条边三个角。

师：三角形都具有“三条边，三个角”的共同特点。帮⑦号三角形找一个朋友，尽可能多发现和⑦号三角形有哪些共同地方。

生1：⑥号，和⑦号三角形一样，都有三个锐角。

生2：⑤号，和⑦号三角形一样，三条边都不相等。

生3：⑤号，和⑦号三角形一样，都有两个锐角，三条边也都不相等。

师：看来三角形尽管形状可能各不相同，但从它的角和边去观察，总能发现一些共同地方。我们可以根据这些特点，对三角形进行分类整理。

（2）自主探究，形成分类标准

选择一个观察角度（角或边的特征），给三角形分类。学生利用七个三角形学具独立进行分类操作。教师巡视指导。

师：说说你们小组的分类情况和想法（师将七个三角形按学生的叙述分类粘贴）。追问：你们为什么把这几个分在一起？

生1：它们都有三个锐角;都有两个锐角和一个直角;都有两个锐角和一个钝角。

生2：它们都是三条边不相等的;都只有两条边相等;三条边都相等。

（3）共同学习，掌握三角形分类

师：我们分别从角和边的特点观察，三角形有两种分类方法。我们先来看按角的特点的分类，这三类分别有怎样的特点？能帮它们取个名称吗？

生：三个都是锐角的叫锐角三角形;有一个直角的叫直角三角形;有一个钝角的叫钝角三角形。

师追问：为什么不说有一个锐角的三角形是锐角三角形？

师：請你先任意画一个三角形，再判断一下是什么三角形，然后请同桌检查一下你的判断是否正

确。（学生操作）

师：请问刚才画锐角三角形的同学，说说锐角三角形有什么特点。（三个角都是锐角）

师：请问刚才画直角三角形的同学，你怎么知道自己画的就是直角三角形？

生：我画的三角形有一个直角。

师：刚才还有些同学画的是钝角三角形，其他同学猜猜他们的三角形会有什么特点？

师：有没有没举手的（看有没有遗漏）;有没有举了两次的（看有没有重复）。既然没有遗漏也没有重复，也就是三角形都一次分完了，说明三角形按角的特征正好可以分为三类。

师：我们还能从边的角度观察，三角形可分为哪几类吗？

师：对于从边的特点观察，这节课我们重点来认识两类特殊的三角形：等腰三角形，等边三角形。你听说过吗？（看书自学）

师：為什么说“等边三角形也是等腰三角形”？

生：因为等腰三角形只有两条边相等，而等边三角形里面也有两条边相等。

（4）交叉关联，凸显分类价值

师：（指板书）竖看，三角形按角的特征，可分为三类;横看，三角形按边的特征，也有三种情况。任意选一个三角形，利用分类知识，介绍你对它的理解。

师：如果我们横竖交叉，既考虑角又考虑边，对三角形的认识将会更全面，你又会有哪些新的认识和发现？

师：（提供每位学生画着表格的纸）将自己的七个三角形放入表格中恰当的位置，再和同桌交流一下放这个三角形时，你是怎么考虑的，你将怎么介绍这个三角形。

师：从角和边两个角度综合考虑，你认为三角形可以细分为几类？

3.观点提炼

目标定位：认识分类的本质，分类既是目标又是手段，其本质是对事物本质特征的刻画。

善于分类：掌握分类的方法，能分别按角或边对三角形进行分类，并认识两类特殊三角形之间的从属关系。

联系建构：不同分类的联系，如果将按角或边对三角形的分类进行纵横交叉观察，对三角形的特征认识会更深刻。

教学建议：这样的教学思想和方法适用于同一知识有多个学习维度或观察维度的教学内容，通过纵横比较，能更为准确地认识知识间的特征和内在联系，有助于对数学概念内涵和外延的准确掌握。如“质数和合数”“奇数和偶数”的教学。这样的教学，不仅使学生积累了数学知识，而且掌握了创造更多知识的方法和思想，达到“1+1>2”的教学效果。

二、追本溯源：思维方式比解题技巧更有价值

解决数学问题往往会用到许多的解题方法和技巧，这些方法和技巧大多需要进行专门的学习和练习，才能掌握。如果一段时间不用了，也很可能会遗忘，需要用时，也就想不起来了。从这个角度分析，学生对于方法技巧的记忆牢固程度会直接影响他们对数学问题的解决，这也是造成学生数学学习成绩差异的原因之一。要让学生牢牢记住，就需要大量练习，无疑会加重学生的负担，也无法体现数学学习的根本价值。事实上，我们发现，尽管许多数学问题的解题技巧和方法会有差异，但其中的思维方式却有相同之处。这就需要我们思考，数学问题的解决过程中，是掌握众多的解题技巧重要，还是体会和掌握其中蕴含的思维方式更有价值。下面以“鸡兔同笼”教学为例。

将“鸡兔同笼”作为“尝试和猜测”的内容，其意图显然并非要求人人都能熟练地应用简单的方法来解决这类问题，而是让学生在尝试解决问题的过程中，体验到解决这类问题的思想方法，从而发展学生的数学思维能力。

1.问题分析

教学实践中有两类不同的方法追求倾向，一类是追求用假设法解决，这种教学想法过于现实，结果是学生会解但不明白为什么这样解，尤其是不明白教师是怎么想到用假设法来解决这个问题的;另一类是追求用方程法解决，这种教学想法往往认为列方程是顺向思维，学生容易理解，事实上所列出的方程是由二元一次方程组转化而来，在小学阶段，学生对方程知识和解方程方法掌握都较为简单的情况下，学生不但感觉不到它的优势反而感觉过于抽象。两类不同的教学方法倾向所产生的问题，其关键都是过于关注问题解决本身，而忽视了在解决问题过程中学生的思维活动特征，尤其是首次面对陌生问题时的一种思维本能—尝试。如果我们跳出假设法重新审视这类方法，会发现“假设”仅是一种较高思维层次的尝试而已。如果能站在这样的角度来认识解决这个问题的方法，无疑对学生的思维发展是很有益处的，自然比简单解决这个问题本身的价值更大更深远。

2.教学实践

（1）提出问题

师：今天我们研究的“鸡兔同笼”问题，出自我国古代的数学名著《孙子算经》，至今已经有1500多年了（出示问题：鸡兔同笼，有12个头，30条腿。鸡、兔各有几只？）

师：你对 “鸡兔同笼” 知道些什么？你想怎么去解决这个“鸡兔同笼” 问题？

（2）尝试交流

师：拿出课前发的表格，先考虑好准备怎么尝试，再把尝试的过程写在表里，然后小组交流。（学生独立尝试，教师深入小组倾听）

师：哪个小组来推荐你们的方法？简单说出推荐理由。（教师安排好交流顺序）

（方法1：一一列举，找出结果）

师：他们的尝试有什么特点？

生：把鸡和兔一共12个头的情况一种一种都列举出来了。

师：这么有序地一一列举，有什么好处？

生：看起来很清楚，保证不会遗漏，也一定能找到正确的结果。

师：从这张表格中，你还有什么发现？

生：减少1只鸡，增加1只兔，腿就增加两条;减少1只兔，增加1只鸡，腿就减少两条。

师：发现这个规律有什么用？

生：填写表格会很快，调整起来很方便。

（方法2：取中列举，缩小范围）

师：这种方法又有什么特点？

生：12只鸡和兔，先想一半是鸡一半是兔，结果腿太多了，说明兔太多了，就减少一只兔增加一只鸡，还是太多，就继续减少兔增加鸡，找到答案才停止。

师：他们只试了4次就找到结果了，为什么能做到这么简单？从一半开始，会不会出现这样的情况？