弱化条件合情推理解决探究问题

熊兵

[摘  要] 文章通过一个探究问题的分析研究，总结出探究问题的解决分为两条主线思路，同时其中一条主线思路分为三种方法，三种方法的核心都是通过弱化条件来解决问题. 应用此方法，可以培养学生的独立研究能力、创新能力.

[关键词] 弱化;合情推理;探究

中学阶段常遇到一些探究问题，中高考也时常将其作为考题. 探究问题类型繁多，如纯数字探究、图形探究，纯数字和图形探究又可以分出很多不同的类型. 既然探究问题如此常见，那么值得深入研究.

下面我们来思考这样一个问题：如图1，平面内五条直线相交于一点，请问有多少对对顶角？对于这样的题目，方法有很多，本文将深入研究这个题目，进而找到比较系统或者常规的处理方式来解决此探究问题.

针对这个题目我们来分析一下它的一些做法，第1种方法，可以直接数，这个方法比较容易出错，因为容易数重或数漏;第2种方法，这是我们要推广的一种方法，它适合于这种规律性的探究問题，同时还可以将其延伸到很多复杂类型的问题，这种思想就是降低题目的要求，即通过弱化条件来解决问题. 以这个题目为例，本题中5条直线相交于一点，我们注意到5条直线较多，此时降低要求，要有交点，至少需要2条直线（如图2），容易数出对顶角的数量为2对，接下来3条直线的情形（如图3），4条直线、5条直线. 我们研究从简单到复杂的情形，找寻对顶角数量有什么样的规律，由此猜想出平面内5条直线相交于一点，对顶角的数量是多少. 当然，这样数比较容易出错，虽然这是一个从简单到复杂的过程，但是如果某种情形数错，我们就总结不出正确的规律. 于是接下来又提供两种思路，第1种思路，什么样的情况会产生对顶角，根据对顶角定义“两条直线相交会产生对顶角”，那多于两条直线的情形，我们就任选两条直线，它都可以形成对顶角，此时我们用排列组合的思想，即相当于从n条直线当中取两条直线，产生两组对顶角. 我们解决了n条直线交于一点的对顶角的数量（2C■），这是从对顶角定义的角度去思考的. 第1种思路可能不太容易想到，第2种思路是我们在做这类题目时最重要的一种思路. 在第2种思路中，一定要注意研究新加入一条直线之后，对顶角数量发生了什么样的变化. 相同类型甚至很多其他类型的题目都可以用这种思路去研究. 比如两条直线相交，有两对对顶角，再加入一条直线，我们就会发现直接数会有6组对顶角. 接下来我们的任务是一定要去研究新增加的这4对对顶角是怎么来的，这样我们便会研究出再加入一条直线，它又会发生什么样的变化，于是我们可以进行数学归纳，用一个合情推理来解决. 最后我们可以推广到n条直线在同一平面内交于一点有多少对对顶角.

接下来，通过这个题目的研究，我们总结一下研究过程.

这个模型的构建借助于刚才研究的问题，我们对应起来解释，从探究问题出发，两种思路，一是直接数（即直接研究）. 二是弱化条件研究，从两条直线开始研究，然后又分出三个思路，（1）直接数，从简单到复杂（即直接研究）;（2）研究每一种情况的对顶角数量，根据对顶角的定义任选两条直线都可以形成对顶角，用排列组合的思想，相当于从n条直线当中取两条直线产生两组对顶角，n条直线交于一点的对顶角的数量就是2C■（即研究问题本质）;（3）研究新加入一条直线之后，对顶角数量发生了什么样的变化，合情推理然后得出结论（即研究问题变化）.

通过此模型，我们来看以下问题.

例1：在△ABC中，画出一个正方形，要求正方形的一边在AB边上，剩下两个正方形的顶点刚好在AC，BC边上.

解决方法，弱化条件，画一个正方形的一边在AB边上，剩下一个正方形的顶点刚好在AC边上，画出大小不同的情形，然后发现不同情形的正方形中，剩下的不在三角形边上的顶点刚好在一条直线上，连接其中不在三角形边上的任意两个顶点的直线交BC边于点D，于是从D点出发作出正方形即可. （如图5）

例2：尺规作图作已知三角形的外接圆.

解决方法，找到圆心，圆心满足到三个顶点距离相等，弱化要求，假设到其中两个顶点距离相等，则圆心在三角形边的中垂线上，画出两边的中垂线，交于一点D，即为圆心. （如图6）

例3：给定两条平行线及平行线间一点，尺规作图作一个圆与给定的两直线相切并通过已知点.

解决方法，此问题同样需要找到圆心，直径即平行线之间的距离，既然知道了直径，因此我们弱化条件，圆心与已知点的距离确定，可以画出到已知点距离为半径的轨迹为一个圆，圆上的点作圆心都可以，再确定圆心在给定的平行线之间的一条直线上，找交点确定圆心.

例4：凸多边形的对角线条数问题.

解决方法，我们可以采取两种不同的弱化方式，一是从四边形开始数多边形的对角线条数，然后逐渐增加边数研究规律，这种方式刚好符合刚开始举例的问题，也可以采取三种方法去解决问题;二是弱化到数一个顶点出发的对角线条数，然后结合所有顶点一起考虑.

例5：多项式（a+b）2020的展示开式的研究.

解决方法，我们可以从指数为1开始研究，然后指数为2、指数为3，展开后研究系数及字母指数的变化，得出结论，同时还可以进行推广研究.

总之，弱化条件合情推理解决问题是一种行之有效且常用的方法，它不但可以解决一些常见的探究性问题，同时还可以推广出更多有趣、有意义的延伸结论，甚至有时还能触类旁通解决不同类型的问题. 应用此方法，可以培养学生独立研究能力、创新能力. 有了独立研究的经验体会，学生在今后的学习过程中将受益匪浅.