“问题—探究”式教学在高中课堂上的应用

贺勇久

[摘  要] “问题—探究”教学不可缺少教师的精心设计，还要结合教学内容以及教学需求，提出难度适宜以及具有可行性的问题，而学生则需要在问题的引领下，进行资料查询或者实践操作以自主寻求答案. 落实于具体的活动中，教师在其中是活动组织者的身份，这样才能落实学生在学习过程中的主体地位，才能实现对思维的有力拓展.

[关键词] 高中数学;问题;探究;应用

在高中数学教学中，开展“问题—探究”式教学是十分重要的，“问题—探究”教学的关键是先由教师创设真实的问题情境，然后由师生共同进行实验探究，并在这一过程找到问题的答案. “问题—探究”教学不可缺少教师的精心设计，还要结合教学内容以及教学需求，提出难度适宜以及具有可行性的问题，而学生则需要在问题的引领下，进行资料查询或者实践操作以自主寻求答案. 落实于具体的活动中，教师在其中是活动组织者的身份，这样才能落实学生在学习过程中的主体地位，才能实现对思维的有力拓展. 探究式教学不仅有助于保障课堂教学质量，也是极其有力的学习工具. 在教学几何知识的过程中，引入探究式教学法，能够对学生形成较高层面的思维激活，能够使其灵活地理解定理，深刻地记忆定理.

《平面和平面的位置关系》是高中数学中的重要内容，学生经历了之前的学习，已经掌握了一定的知识，具备解题基础，所以，可以引入学生比较熟悉的生活场景让学生感知. 一方面是为了组织学生展开探讨，另一方面也能够自然地引出两平面之间的位置关系，为接下来的深入探究打下良好的根基，同时树立了丰富的感性认知. 在学习本课之前，学生已经学习了和棱台相关的知识，针对两个平面相互平行这一知识点，学生已经具备了一定的理解和认知基础，所以，可以再次带领学生回顾棱柱、棱台以及圆柱等概念，然后逐步推导，揭示判定定理. 在这一堂课的教学中，开展“问题—探究”式教学，首先需要引导学生准确区分异面和平行，然后引出相关的性质定理，并在此基础上引导学生围绕问题进行探究，在探究的过程中对相关的性质定理进行证明.

■创设生活情境，引入教学内容

《数学课程标准》特别强调数学与生活的联系，创设生活化情境引入教学内容，能够让学生充分感知数学学习内容的“鲜活”. 在这一堂课的教学中，笔者给学生创设了以下生活情境.

师：通过前面几堂课的学习，你们已经掌握了直线之间、直线和平面之间的位置关系，也了解了各关系的判定及其性质，那么，大家认为构成空间图形的基本元素还存在哪种关系，是我们之前没有研究到的？

学生陷入思考.

师：接下来，需要大家关注的是这一环节的重点：探究两个平面之间的位置关系.

（生思考）

师：实际上，这一知识点在我们的生活中无处不在，如，宿舍中的双层床，可以将上下铺的整个床板面建设为两个平面，爬梯所在的面也可以抽象为一个平面（如图1所示）.

问题1：两个床板所在的平面存在怎样的位置关系？其中存在多少个公共点？

问题2：床板面与爬梯面之间是怎样的位置关系？其中存在多少个公共点？

然后，引导学生行自主观察，并引出本课的教学内容. 这样，学生在这个过程中就能够对这一堂课的基本内容初步感知.

■设计导学问题，推进探究进程

问题是引发探究的“启动器”，问题设计的巧妙性直接影响学生数学探究的质量. 在引出学习内容之后，笔者是这样设计导学问题的.

（一）引导初步探究

问题1：平面α内存在直线a，且与平面β平行，α与β平行吗？（不一定）

問题2：平面α内存在直线a，b，且与平面β平行，α与β平行吗？（不一定）

你认为怎样才能判定两平面平行？

师：木工师傅有一个常用工具，那就是水平检测仪，你知道是怎样检测桌面是否水平吗？其依据在哪里？

借助多媒体呈现木工师傅使用水平检测仪的过程，组织学生认真观察.

师：针对这样一个检测过程，大家是否可以使用简洁的语言对其进行描述呢？

（小组交流，教师对学生答案进行汇总和补充. ）

将水平仪置于桌面上时，需要交叉放置两次，如果两次气泡都位于中央，可判定其水平.

师：你认为这一过程的原理是什么？

先进行小组交流，自主推导出判定定理，然后教师进行补充、板书.

师：在长方体模型中，你是否可以利用平面间的位置关系对上述结论的正确性进行验证呢？

师：如果要求你使用符号语言或者图形语言，你又该怎样表述上述定理呢？

学生纷纷开始动手画图交流探讨，并得出以下结论：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.

（二）借助定理证明

给学生出示图2：

师：你能证明平面AB■D■∥平面C■BD吗？如何证明空间中两个平面平行，需要考虑哪些因素？

学生自主探究证明空间内两平面平行的方法.

（1）定义法：以定义作为判定基础，如果两个平面之间没有公共点即可证明. 用符号进行表示就是α∩β=■，则α∥β.

（2）判定定理：当一个平面内存在两条相交直线都与另一个平面平行，即可证明. 以下是用符号的方式对其进行表示：

符号表示为：a？奂αb？奂αa∩b=Aa∥βb∥β？圯α∥β

师：你认为哪种证明方式相对简单便捷？

生：判定定理.

师：那么怎样运用这个判定定理对其进行证明呢？其中的关键点为何？

生：首先一个平面内必然要存在两条相交直线，并且都平行于另一平面.

师：请大家自主完成上述证明过程，在组内进行交流. （教师版书）

（三）推进深入思考

师：如果两平面平行，如何分析一平面内的直线和另一平面之间的位置关系？

生：也是平行的.

师：能否对其进行解释呢？

生：首先，这两个平面平行，由此可说明，其间不存在公共点，一条直线位于一个平面内，当然也不可能和另一平面存在公共点，根据定义可判定直线和平面是平行关系.

师：如果有两条直线，分别位于这两个平面内，如何判定两条直线的位置关系？

生：首先这两个平面平行，由此可说明其间不存在公共点，而这两条直线分别位于这两个平面内，这也就意味着，它们之间也不存在公共点，根据空间中两直线的位置关系，由此可判定，其或者平行，或者异面.

师：如何才能够分别在两个平行的平面内找到两条平行的直线呢？

此时学生们纷纷陷入思考.

师：在我们的教室中，或者在这个长方体中，大家能否找到具体的实例呢？

学生们参照实例展开了探讨和梳理，然后以规范的数学语言对探究结果进行表述.

教师梳理总结，完成补充.

师：两个平行平面如果同时与第三个平面相交，怎樣证明它们的交线平行？如果要求用简练的符号语言，怎样才能够完整表达？使用图形语言又该如何表达呢？

已知：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，

求证：a∥b.

师：想要完成上述证明，你认为需要考虑哪些要素或者方法？

学生讨论，得出以下结论. 想要证明空间内两条直线平行的方法有以下几种：

（1）定义法.

（2）平行公理.

（3）直线和平面垂直的性质定理.

师：你认为选择哪种证明方法更为简单便捷？

（学生小组讨论，并完成解答）

（四）变式练习巩固

出示：

如图3所示，平面α与平面β平行，点P是这两个平面外的一点，并且不在这两个平面之间. 直线PB交平面α于点A，交平面β于点B;直线PD交平面α于点C，交平面β于点D.

（1）求证：AC∥BD;

（2）如果PA=4，AB=5，PC=3，那么PD的长是多少？

学生结合图形展开分析，进行解答. 解答后教师组织学生反馈.

■组织学习梳理，巩固探究成果

在高中数学教学中，学生借助问题进行探究获得学习成果之后，教师组织学生对学习成果进行梳理十分重要，只有这样，才能帮助他们巩固探究学习的成果. 在本课的结课环节，笔者是这样设计的.

师：现在我们梳理本堂课所学习的知识点，体会其中的数学思想方法.

由学生自主交流，自主总结，教师最后对其进行补充.

1. 在空间内两个平面之间的位置关系主要存在哪几种？分类依据是什么？

2. 想要判定两个平面平行，具体的判定方法有哪些？

3. 性质定理.

其中所蕴含的数学思想在于类比转化.

总之，伴随着新课改的有序全面深入，特别强调学生在学习过程中的主动探索地位，需要落实合作交流以及动手实践，所以，体现于具体的教学中，不仅要关注学生的主体本位，还要提高其对具体活动的参与程度，使学生可以亲历完整的数学抽象过程，体会知识的生成过程. 结合生活中的实例，感受空间中的平面位置关系，不仅要了解其性质，还要能够灵活运用判定定理，更要能够成功地在文字、图形以及符号语言之间正确转化. 此外，特别强调数学思想在学习实践中的有力渗透.