基于数学抽象素养的教学设计研究

祝敏君

[摘  要] 数学抽象是數学的基本思想，基于数学抽象素养的课程设计应该从理论研究和案例设计两个方面进行. 通过抽象度分析可以明确抽象对象的核心知识，并有针对性地进行课程设计. 函数单调性是函数的重要性质，也是“函数”主线的核心内容，更是数学抽象素养培养的重要载体. 文章通过函数单调性的教学设计对基于数学抽象素养的教学设计的理念进行了具体的说明.

[关键词] 数学抽象素养;普通高中;课程设计;函数单调性

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出了六大核心素养，其中数学抽象是其中重要的组成部分. 以数学抽象素养为导向的教学设计应当从理论研究和教学设计两个方面进行思考. “函数”主线是培养数学抽象素养的重要载体，函数单调性是其中的核心内容. 以函数单调性为主线，展开高中数学教学的研究，具有代表性和现实意义.

■关于数学抽象的思考

中国数学家徐利治提出了数学抽象度的概念与抽象度分析法，并提出了“弱抽象”与“强抽象”两个概念. 本文利用抽象度分析法对函数单调性进行研究，以数学抽象为视角分析函数单调性的内涵、类型和地位，为教学设计提供有价值的参考.

由“单调性知识结构抽象度有向图”（图1）可以明显看出，单调性、导数既是分叉点也是交汇点，抽象度的三元指标都比较高，这意味着这两个概念在这个知识结构中处于最重要的地位，也表明它们是最基本和最深刻的概念，需要着重关注单调性和导数的教学设计. 其中的大部分抽象都是通过强抽象形成的，这是一个产生新知识及使抽象的数学更加贴近实际的方式. 由基本初等函数的图像抽象出函数单调性的一般性定义，以及通过函数单调性的变化特征抽象出导数的定义，都是弱抽象的过程. 因此，我们有必要对抽象度最高的函数单调性和导数的概念的抽象过程进行进一步的层次分析，明确概念的抽象过程，为教学设计提供指导.

本文采用了弗莱登塔尔的“数学化”活动的表述. 其中函数单调性的定义的抽象是水平数学化的过程，从“变化”入手的导数概念的抽象是垂直数学化的过程，即水平数学化后进行的数学化，主要关注数学系统内的运作与层次的提升.

关注图1中的两组互逆的抽象结构：函数单调性与基本初等函数单调性，函数单调性与导数. 一方面通过熟悉的基本初等函数的图像抽象出函数单调性的定义，另一方面又利用函数单调性的形式化表达抽象出范围更广的基本初等函数单调性，扩大了概念的内涵. 从函数单调性形式化的定义中的绝对变化特征逐级抽象出导数的定义，反之又用导数的方法研究函数单调性，加深了对概念的理解. 可见，数学抽象素养的培养不是线性的过程，需要深入到具体的学习活动中. 通过教学中合理设计创设数学情境、问题驱动、展开教学过程，使学生在多样化的活动过程中积累基本的活动经验，促使其形成相应的数学抽象素养.

在培养学生数学抽象素养的视域下，应该将“函数单调性与导数”作为整体进行教学设计，一方面考虑导数与单调性的联系，即局部性质与整体性质的联系，用联系的观点看问题有助于培养学生高层次的数学抽象素养;另一方面可以建立“函数单调性与导数”与其他相关知识内容的联系，在实际应用中有效地提升数学素养.

■基于数学抽象素养培养的教学设计案例

1. 教学设计案例1：函数单调性的定义

帮助学生抽象并形成函数单调性的定义，教学设计可以采用“问题串”的形式.

问题1：在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据函数图像，分别述说x在哪个范围内变化时，y随着x的增大而增大或者减小.

问题2：在日常生活中，哪些函数关系具有上述特征？

问题3：请你用数学语言表达上述特征. 你能正确表示出函数单调性的定义吗？

问题4：如图2，f（-2）

问题5：函数f（x）在（0，+∞）上取无数个自变量的值x■，x■，x■，…，当0

问题6：依据函数单调性的定义，证明函数y=x-1在（0，+∞）上是递减的，证明函数y=x+■，x∈（2，+∞）是递增的.

设计说明：以上“问题串”的设计遵循概念教学的一般过程，问题1和问题2是设计概念探究的环节，即在特定的背景下，探究概念的外延与内涵. 在原有案例问题的基础上增加了问题3以呈现概念的定义，使“问题串”的设计更加完整，并同时给出单调区间的定义. 问题4和问题5通过设计非概念变式中的“反例变式”，对概念进行多角度的辨析与理解. 问题6是帮助学生形成数学连接，最终构建概念的表征体系. 特别注意，在问题3的探究过程中，对“任意”的理解是学生学习的难点;问题5的探究过程可以设计多个由函数单调性的定义证明具体函数的例题.

2. 教学设计案例2：导数的概念整体教学设计

《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求通过“变化”入手进行抽象，最终用瞬时变化率的数学表达来生成导数的概念. 可以通过设计实例建立数学抽象的活动过程，先对某一特定的研究对象（具有实际背景）抽象出导数的概念，而这样的抽象形式与方法又可以在更为一般的意义上去刻画更广泛的能够体现变化率的量. 应该注意到，在概念逐级抽象的过程中，要适时提供合适的案例帮助学生理解概念，进一步建立数学概念结构，而不是为了抽象而抽象. 教学设计应该遵循三个原则：能够帮助学生经历多样化的活动经验;能够帮助学生更好地理解数学，并学会数学式的思维;能够发展学生解决问题的能力. 从“变化”的角度抽象出导数的概念的过程（图4），这是一种基于现实与直觉的抽象，需要经历一个反复确认、逐步抽象的过程. 通过具体的背景认识概念，用直观的过程获得认识，用归纳的方式形成抽象的结论，最终用符号严谨地表达. 这正是基于数学抽象素养的课程设计的立足点和教育价值.

3. 教学设计案例3：“單调性—导数”主题教学设计

对数学基本结构和体系的抽象是较高水平的数学抽象素养的要求. 在高中阶段，可以利用数学的核心概念串联相关的知识，改变知识的碎片化、表层化，用联系同一的观点看问题，潜移默化地提升数学抽象素养的水平. 学习理论的现代研究表明，要围绕核心概念来组织教学，进行教学设计时要树立的“整体观”.

对于单调性和导数这一核心知识，我们可以通过典型案例在抽象的角度厘清它们之间的内部联系，使其得到关联并进一步形成有机的整体. 在此基础上分析“单调性—导数”与其他相关知识的外部联系，将教学内容模块式地组织与构成.

思考1：单调性与导数的联系——整体与局部.

单调性是研究函数在一个区间内的变化，即函数的整体性质，导数作为特殊极限开始从局部解释函数的性质. 高中阶段是要让学生理解：如果可导函数在某一区间内每一点的导数都大于0（小于0），则函数是严格单调递增（递减）的. 反之，在一个区间内，递增（递减）函数如果有导函数，那么每一点处的导数大于0（小于0）或等于0.

思考2：单调性与导数的联系——定性与定量.

一方面，通过定性分析函数的性质，从整体上描述函数的变化来描述单调性，反映了随着自变量的增加，函数值变大（变小）的趋势;另一方面，导数可以更精确地刻画函数的变化，反映了在某一点函数的变化，就形成了分析函数性质的定量方法.

例1：（1）判断函数y=x+■在区间（0，+∞）的单调性，并说明它在区间上的变化是怎样的.

（2）判断函数y=x-■在区间（0，+∞）的单调性，并说明它在区间上的变化是怎样的.

设计说明：利用导数工具，从定量计算的角度形成对已知函数单调性和单调区间的新认识，而具有代表性的素材有助于课程目标的达成. 第一个函数在区间内有极值，第二个函数在区间内是单调递增的，在计算和比较中形成了准确的抽象概念. 可以考虑在区间（0，+∞）内如果已知函数（如y=6x+sinx）每一点处的导数都大于5，那么这样的函数的变化是怎样的？

例2（变化的敏感性）：理解并感知“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的现实含义. 如y=lnx，y=2x，y=x2，y=ex在区间（0，+∞）上的变化.

设计说明：利用函数图像感知对数函数、一元一次函数、幂函数与指数函数的单调性，并通过导数的计算确认增长速度的敏感性差异. 此处教学案例的选择可以有实际的背景，如生物遗传学中基因数据对变化的敏感性，经济学中的“边际效应”，等等.

思考3：“单调性—导数”与外部的联系.

通过建立“单调性—导数”知识团，有助于学生认识函数是刻画变化的数学模型，此时经历用单调性和导数的方法研究并解决相关问题的过程. 在学生应用单调性解决问题的过程中，通过选择使用导数工具进行分析，可以进一步加强学生对概念的深刻理解. 这就需要厘清“单调性—导数”知识团与外部知识的联系（图5）.

■结论与思考

抽象是数学得以产生和发展的思维基础，并且与数学的发展同步. 数学抽象的思维是从直觉开始的，进一步构建基于结构的理性知识，最终形成抽象结构. 基于数学抽象素养的教学设计理应遵循抽象的思维过程，同时教学设计必须要有整体的把控.

基于数学抽象素养的教学设计要依据两条主线进行. 第一条主线是自上而下的，考虑对象的抽象过程与内在逻辑，即先有理论的分析，再有教学设计. 通过分析概念的知识结构有向图，厘清概念之间的关系和抽象过程. 进行抽象度的分析，发现核心概念的地位和重要程度. 客观地进行分析，将经验感受变为可视化的图表. 围绕分析的结果进行的教学设计，更加科学、清晰、准确. 明确数学思维的严谨性，理解现代数学的符号化、形式化和公理化的趋势. 第二条主线是自下而上的，体现在知识呈现的方式上，案例材料的安排上，例题、习题的配置上. 教学设计是为教学服务的，最终的落脚点是培养学生的数学抽象素养，自然要站在学习者的视角上，用“同理心”展现抽象思维的过程.