习题优化重组，加强知识联系

李杰 彭飞

[摘  要] 数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一个门户，把学生引入一个完整的理论领域.”作业讲评教学中，教师可以把孤立的习题重组起来，形成习题题组，使知识结构化、系统化，通过解决题组中的问题，帮助学生形成易于迁移的知识结构.

[关键词] 习题重组;知识联系;系统化

在教学过程中，笔者发现这样一个问题，不少学生只会解决一些简单易操作的题型，当遇到稍许综合的问题时，学生往往存在找不到思路，或者思路断裂的现象，学生自己将此现象描述为“有公式，无方法”. 笔者以等差数列为例，谈谈自己在解决上述问题的一点想法，不当之处，还请读者批评指正.

■问题呈现

笔者在讲述等差数列时，就遇到了上述学生所描述的问题.

例1：在等差数列{an}中，若a1=-3， 11a■=5a■-13，那么该数列前几项的和最小是多少？

笔者批改本题时发现，绝大部分学生都能做对. 经过访谈，学生回忆了解题过程. 因为记得公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■，几乎不需要经过分析，自然就会想到先求出d，再用a■，d求出S■就可以解决了.

而当问题发生改变时，如：

例2：已知等差数列{a■}的前n项和为S■，若a■=12，S■>0，S■<0.

（1）求公差d的范围;

（2）问：S■，S■，…，S■中哪一个的值最大？并说明理由.

同样记得公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■，不少学生在解答第二问时思维却不自然、不顺畅了. 为什么会出现这样的情况？在作业讲评教学中又该如何处理？笔者试谈谈对此的理解与思考.

■分析问题，探求方案

学生在求解例1时，“只要记住公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■就不需要分析，自然就会想到先求出d，再求出S■”，这是什么意思？从知识的联系角度来看，例1中的a■，a■与a■，d有了a■=a■+（n-1）d的聯系直接可以求出d，有了S■=na■+■的联系直接可以求出S■. 整个解题过程各个量之间的联系简单而直接，从“已知”到“目标”几乎不需要拐弯，所以就很容易求解. 而对于例2，沿用原来的思路，不少学生的头脑中各个量之间的联系很快就会中断，如利用a■=a■+（n-1）d的联系，a■，d不能直接求出，从而S■就不能求出，因此S■什么时候有最值就无法得知.

通过调查研究，笔者发现不少学生的思路是，表示S■总是想着一定要具体求出a■，d的值，或者在求解二次函数的最值时总是希望求出二次函数具体的解析式. 通过笔者对上述问题的思考，笔者认为学生对知识是浅层次的理解，往往只能应对简单的问题;如若学生能打破知识间的隔阂，对知识间的联系有深刻的理解，不再是只看到表层知识，那么对综合问题的求解就会越有利. 因此可以从打破学生头脑中知识间的隔阂，加强知识间联系的角度出发，提高学生解决问题的能力.

问题解决当然也不能离开好的问题■[1]，数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一个门户，把学生引入一个完整的理论领域.”作业讲评教学中，教师就可以把孤立的习题重组起来，形成新的问题、好的问题，去帮助学生挖掘出问题的各个方面，让学生形成联系丰富的知识体系.

■习题重组，试探前行

作业中的习题编排，一般由易到难，循序渐进，有时为了避免知识点的重复，会把类似的问题分散编排. 作业讲评之前，需要根据学生的完成情况，了解学生对知识掌握得怎么样、知识结构是否良好. 作业讲评时，可以根据学生掌握的情况，把相关习题集中编排，形成结构良好的习题组.这样有助于学生从整体上重新审视作业中的这些知识点，沟通与相关知识之间的联系，加深对知识的理解，形成良好的知识结构，从而有利于问题的解决. 现将习题重新组织呈现如下：

例3：（1）在等差数列{a■}中，若a■= -3，11a■=5a■-13，那么该数列前______项和最小.

（2）已知等差数列{a■}的前n项和为S■，若a■=12，S■>0，S■<0.

①求公差d的范围;

②问：S■，S■，…，S■中哪一个的值最大？并说明理由.

（3）在等差数列{a■}中，a■=13且S■=S■，那么n取何值时，S■取最大值？

（4）若{a■}是等差数列，S■为前n项和，且S■S■，求n为何值时S■有最值.

（5）设等比数列{a■}满足a■+a■=10，a■+a■=5，求a■a■…a■的最大值.

■教学过程，片段展示

1. 片段一

师：同学们，以上几题是我们最近作业中的关于S■最值的问题，有同学反映“记得公式，但没有方法”. 今天我们准备通过这几道题深入思考，看能否从中获得关于相关知识与方法的更深刻的理解.

师：在批改过程中，我发现绝大部分同学都能解决第一道题，下面的几题有不同程度的困难. 其实，解决下面几题的方法、想法都能在第一题的解法中找到，我们需要好好挖掘一下这个宝藏. 先请一位同学来说说第一题的解法和想法.

生1：我先把公差d求出来了，等于■;然后把S■表示出来了，是S■=■n2-■n;求出对称轴n■=5.9，取最靠近的整数，所以当n=6时S■最小.

师：不错，你能说说想法吗？

生1：要求S■什么时候最小，我就先把S■表示出来，是关于n的二次函数，从函数的角度来看，就是要找到其对称轴，数列中n只能取整数，所以取最靠近的6就解决了.

师：解决得很好，其他同学也是这么解决的吗？

生：是的. （异口同声，说明大部分学生都是这样的）

师：这么好的方法，为什么不用到第二个题目中来呢？再找一位同学来说一下.

（第二题的第一问学生基本上都做对了，其结果是-■

生2：我本来也是想用同样的方法，从函数的角度来解决第二问的，可是遇到了问题.

师：什么问题？能否跟第一题做个比较.

生2：我也准备把S■表示出来，可是不行，第一题之所以能表示S■是因为a■，d都能求出来，而第二题中的a■，d都求不出来，所以就不行了.

2. 片段二

师：原来如此，我们一起来反思一下这个问题，你认为a■，d不能求出来，S■就不能被表示出来，对吗？

生2：是的，求不出来值就不能表示……（停顿、思考）好像字母也可以表示：S■=na■+■=■n2+a■-■n，可是表示出来也不能解决……

师：我们再来回顾一下目标，从函数的角度来看，S■什么时候取最值，关键是看什么？

生2：由于S■是二次函数，所以关键是看开口方向和对称轴，由于d<0，所以开口向下，对称轴n■=-■=■-■，可是a■，d没有具体的数值而且是两个字母……

师：是不是一定要求出具体的数值才可以？这两个字母有没有联系？

生2：由于a■=12，则a■+2d=12，两个字母有联系，可以消去一个，n■=■-■，由于d有范围，所以可求得n■的范围是（6，6.5）. 噢，所以当n=6时，S■取最大值.

师：很不错，看来目标很重要，而且字母并不可怕，字母也是数，是可以变化的数.

师：上述过程我们是否可以再进行优化呢？我们再来研究一下上述过程中用到的S■的公式：S■=na■+■=■n2+a■-■n，这个公式从函数的角度来看，d≠0的情况下，一定是二次函数，大家能画出它的简图吗？看看有什么特点.

生：如图1、图2所示. d>0时，开口向上;d<0时，开口向下时，并且图像都过（0，0）.

师：很好，本题已知d<0時，开口向下，关键是对称轴，能否在图上标出S■，S■，并建立对称轴与S■，S■的关系呢？

生2：从图3可知，可用函数的两个零点0，n■表示对称轴n■=■=■，而n■∈（12，13），则n■∈（6，6.5），所以当n=6时，S■取最大值.

生：掌声……？摇？摇

3. 片段三

师：从上述的解题中，我们挖到了很多宝藏. 比如，要求S■的最值，可以从函数的角度来解决，如果是二次函数的最值，关键是开口方向和对称轴，可以从代数的角度来表示，也可以通过数形结合来解决.

师：我们还能从其他角度来思考解决吗？这个角度从哪里来呢？

生：……

师：要求S■的最值，与等差数列S■相关的公式共有哪些？

生：S■=■=na■+■，还有S■=a■+a■+…+a■.

师：刚才是从函数的角度来看，你能从一般求和角度S■=a■+a■+…+a■来说说S■为什么有最值吗？

生3：S■是由一个一个的数相加得到的，如果一直加正数，那么S■会一直变大，S■没有最大只有更大;如果一直加负数，那么S■会一直变小，S■没有最小只有更小. 所以如果要使得S■有最大值或最小值，一定是a■变号的时候.

师：很好，其他同学觉得他说得对吗？

生：对的！（全体）

师：现在可以从这个角度重新解决第一题吗？试试看？

生：可以. 由a■=-3，d=■，可得a■=■n-■，令a■≤0，a■>0，得■

师：我们现在有了函数角度、一般求和角度，函数角度还有具体不同的操作，同学们在解决问题的时候，就需要选择、需要优化了. 下面请同学们自己试试第二、第三、第四、第五题.

最后这几道题都有了不同的角度、不同的解法.摘录第五题的解法如下：

方法一：设{an}的公比为q，联立方程组a■（1+q2）=10 ①，a■（q+q3）=5②，

联立方程①②得a■=8，q=■.

所以a■=24-n.

所以a■a■…a■=2■=2-■（n-■2-■.

所以当n=3或n=4时，a■a■…a■有最大值为64.

方法二：同方法一可得a■=24-n.

令a■≥1，0

可知{a■}中的前四项是大于或等于1的，第五项开始大于0且小于1，其中a■=1.

所以当n=3或n=4时，a■a■…a■有最大值为64.

■教后反思

1. 习题重组，构建知识系统，深化知识间联系

知识的系统化，是指从整体、全局或联系中去掌握具体的概念和原理，使所学的概念和原理回到知识系统中应有的位置上去[2]. 章建跃先生指出：“系统掌握”是指学生头脑中有清晰的、稳定可辨别的、迁移能力强的“数学知识结构图”，不仅理解知识及蕴含的数学思想方法，而且懂得知识间的逻辑关系、联系方式. 作业讲评课如何促进学生系统掌握课本知识？笔者觉得重新组织作业中的习题使之形成一个整体，有助于知识系统化. 重新组织习题时要尽量做到少而精，有梯度有联系，其作用会深而广. 组织习题时尽量先选择作业中已有的习题，以达到资源利用的最大化，同时时间的使用也最经济. 若作业中习题不能组织成结构良好的题组，则可以适当补充习题或变式，使之形成良好的知识结构.这样在讲评作业时也可以突出重点、详略得当，而不需要面面俱到. 系统掌握知识，联系紧密而深刻，牵一发而动全身，有利于知识运用时得以提取和迁移.

2. 习题重组，自然习得，助学生更易学

自然的过程指的是自然的思维过程. 怎样的思维过程才自然呢？比如：（1）来源于学生的想法是自然的，学生的想法有时候可能并不能完全解决问题，但是肯定接地气，有群众基础，不要急于否定，多从学生的角度看问题，一定有其合理的地方，加以发展和改进，从而自然过渡到正确的思路上来. 同时，学生也能感到老师的尊重和重视，从情感上产生更大的投入，也非常有利于学好数学. （2）来源于课本知识的想法是自然的，有时候老师提出的想法或方法，会让学生有一种“魔术师帽子中拎出来一只兔子”的感觉. 这样提出的方法或想法就不容易学会，长此以往，反而会让学生产生畏惧心理，甚至产生厌学情绪.若能沟通与课本知识的联系，学生会感到方法更自然，更容易接近. 例如，前面求S■最值的一般求和角度，怎么会想到的呢？因为前n项和S■=a■+a■+…+a■，那么可以从“加上一个数a■，S■是变大还是变小”这个角度来思考，类似求a■a■…a■的最大值，可以从“乘一个数a■，a■a■…a■是变大还是变小”的角度来考虑.

3. 习题重组，深度认知，打开学生数学思维之泉

“讲的没有考，考的没有讲”，这是不少学生在考试后会发出的感慨. 当然这应该也是这些学生的真实感受，但在不少老师看来，哪儿会有没讲过的东西呢，最多也就是换汤不换药罢了.这就需要老师加强指导辨认“药”是怎么没有换的，而“汤”又是如何换的. 比如，对等差数列的定义a■-a■=d的理解，很多学生认为a■-a■=2符合等差数列的定义，{an}是等差数列;而a■-a■=2中，就看不到{a■}是等差数列了. 这时可以通过多举几个例子，如■-■=2，■-■=2，（n+1）a■-na■=2，等等. 让学生回归到等差数列的定义，后一项与前一项的差是一个常数，这里的“后一项”与“前一项”的内容（汤）可以换，但实质（药）没有换. 当然，随着理解的深化，将来定义中的d也是可以换的，但由定义推导an的过程方法还可以继续使用. 加强知识之间的联系，相當于建立四通八达的渠道，可以更容易引到源头活水，甚至还可以引到更优质的水源. 比如，在学习数列通项公式、前n项和公式时，加强从函数的角度看数列，将来解决问题时可以活化从函数角度解决问题的思路，在此基础上如果能够再加强目标与已知之间的联系，可以优化解题过程，减少解题长度，获得对知识的深刻理解.

作业是课堂的延伸和补充，讲评的意义在于加深对数学的理解，提升运用数学解决问题的能力，对学生和教师都有非常积极的意义.

参考文献：

[1]  赵峰.一题多变导数题[J]. 数学通讯，2015（Z2）.

[2]  章建跃. 数学教育随想录[M]. 浙江教育出版社，2017.