小问题下的大数学

范丽丽

【摘 要】基于数学整体观下，立足于生长式教学，由一道简单的代数式比较大小的题目引起的一系列联想，激发学生发散思维，形成数学知识结构化网络。

【关键词】整体观;结构化;发散思维;生长教学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出数学教学应引导学生通过思考、探索数学问题，发展数学独特思维，注重数学知识之间的联系，对于同一个问题，可以从不同的角度建模，引导学生感受数学的整体性。这就要求教师基于数学整体观，在组织教学内容时加强知识之间的结构化联系，在潜移默化中培养学生发散、类比迁移、积极探究的能力。

在一轮复习的过程中，遇到这样一个问题，（-1，y1）、（1，y2） 是一次函数y=-2x+b上的两点，请比较y1与y2的大小。大多数学生想到的方法是根据一次函数的增减性判别函数值的大小，很少有同学会把两点代入函数表达式，从代数式的角度去想这个问题，他做函数题，他眼中看到的只有函数，心中想到的也是用函数知识去解决。这种单一的思维方式是怎么造成的呢？一是由于学生满足于会做题即可，缺少思考，缺少融会贯通;另一方面有些教者放不开，会无意识地将原本整体的数学知识人为地割裂，导致学生忽略数学知识的整体性、贯通性。数学教学不应被看成孤立、固定的“模块”式教学，而应是展现数学发现过程的教学，应是一种生长式的教学。基于以上的思考，笔者在教学中设计这样的一个案例：

例1.如何比较2+b与-2+b的大小呢？你有哪些方法？

学生的反应是很“不屑”的，觉得老师给的问题太简单。

S1：利用不等式的性质1，因为2>-2，所以2+b>-2+b。

S2：可以用作差法，因为2+b-（-2+b）=4>0，所以2+b>-2+b。

T：还有别的办法？

（下面没有什么声音）

T：谁可以从函数的角度来解决这个问题？

（大家正襟危坐，开始逐渐转变对这道简单题目的态度，认真思考起来。）

S3：我们可以找到一个函数y=x+b，当x=2时，y=2+b;当x=-2时，y=-2+b。因为y=x+b是一个增函数，y随着x增大而增大，所以2>-2时，2+b>-2+b。

S4：我们可以找到一个函数y=-x+b，当x=2时，y=-2+b;当x=-2时，y=2+b。因为y=x+b是一个减函数，y随着x增大而减小，所以2>-2时，-2+b<2+b。

（这时候，大家的思路被打开了。气氛顿时活跃起来，很多学生举手想要表达自己的想法。）

S5：照他们的说法，我们也可以找函数y=2x+b。

S6：（抢着回答）那也可以找函数y=-2x+b啊！

T：我们可以用任意一个形如y=kx+b的一次函数模型来解决吗？比如y=-4x+b？

S众：可以，设一个函数y=-4x+b，当x=-■时，y=2+b; 当x=■时，y=-2+b。因为y=-4x+b是一个减函数，y随着x增大而减小，所以-■<■时，2+b>-2+b。

T：大家都非常厉害！我们已经发现当把2，-2看作变量，b看作常量时，寻找任意一个一次函数，利用函数增减性解决问题。那可不可以创设两个一次函数，对于变量取同一个值时，比较函数值的大小解决问题？

（大家又陷入一片思考之中）

这时一个声音：我可以！

S7：我们可以设两个函数y1=x+2、y2=x-2，当x=b时y1=

b+2，y2=b-2，从函数图像上看，只要x确定为同一值时，y=x+2上所对应的点肯定在y=x-2上所对应的点的上方，所以当x=b时，b+2>b-2。

[思考]我内心是激动的，在教学上，只要我们老师一点尝试，一个引导，就能收获到如此多的惊喜。一道简单的代数式题目能引出学生这么多有趣的思考。题目本身虽简单，但是能透过简单看到数学知识之间的联系是很难的，也是我们在平时教学上所缺失的，就是我们教师能不能站在更高的角度从数学整体的大局观来引导学生发现代数式、方程、不等式、函数四大模型的内在联系。教学时要引导学生到整个结构体系里，看到代数式要看到不等式、方程、函数，它们是一体的。知识结构性决定不应将零散的、孤立的知识教给学生，要让学生在生长式教学中得到知识、能力的“生长”。我相信这道简单的题目带给学生的冲击是震撼的，印象是深刻的，影响是巨大的。在学生心里埋下一颗数學整体观的种子是值得的，它会在悄无声息中生根发芽，但是需要我们教师适时浇灌。

学生的成长有其基础性、阶段性、循序性，教师应该以学生的认知发展水平和已有的知识结构为基础，利用生长式教学激发学生的发散思维，从一点发散触及其他，把握知识的体系。数学知识具有严密的逻辑性，知识内部结构联系紧密。

教师要引导学生把数学知识在大脑里形成知识结构网络，感受数学的整体性。这就要求在组织教学内容时加强知识之间的纵向与横向联系，让学生多一点数学整体观意识。

教师有创新精神，整体意识，扩散的思维;学生才有积极主动的探索意识与能力。貌似大相径庭的现实世界，实则殊途同归的数学问题。

【参考文献】

[1]夏红兰.“整体观”视角下的函数教学实践[J].中学数学（初中版），2011（12）

[2]刘莉.见木又见林[J].数学之友，2018（12）

[3]陈瑞刚.基于“结构化”视野的小学数学课堂教学重构[J].数学教学通讯，2018（7）

[4]岳海英.例谈“生长”教学观下的高考试题的教学思考[J].中学数学研究，2010（9）

（南京市浦口外国语学校，江苏 南京  210000）