弹簧连接体的六种情景

王春旺

弹簧和连接体都是高中物理中的重要模型，求解连接体问题一般需要采用隔离法和整体法分析受力情况，求弹簧的弹力需要运用胡克定律进行定量计算。根据对近几年高考试题和各地模拟试题的研究发现，弹簧连接体问题主要可以分为以下六种情景。

一、水平面上弹簧连接体平衡情景

情景解读：可能是粗糙水平面上通过轻弹簧相连接的两个物体，轻弹簧可能伸长或压缩;也可能是粗糙水平面上通过轻弹簧直线连接的三个及三个以上的物体，轻弹簧可能伸长或压缩;也可能是粗糙水平面上通过轻弹簧相连接成菱形的四个物体，轻弹簧可能伸长或压缩;还可能是粗糙水平面上通过轻弹簧相连接的两个物体，其中一个物体上作用一个水平力等。

例1 如图1所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四个小物块，各小物块之间由四根完全相同的轻弹簧相互连接，正好组成一个菱形，∠BAD—120。，整个系统保持静止状态。已知物块A受到的摩擦力大小为厂，则物块D受到的摩擦力大小为（

）。

A√3/2f B.√3f

C.f

D.2f

解析

已知物块A受到的摩擦力大小为f，设每根弹簧的弹力为F，则对物块A由平衡条件得2Fcos 60°=f，解得F=f;设物块D受到的摩擦力大小为f'，则对物块D由平衡条件得2Fcos 30°=f'，解得f=√3F=√3f。

答案：B

点评

水平面上弹簧连接体平衡问题一般与静摩擦力相联系，解答时需要注意静摩擦力的大小与压力无关，与相对运动趋势的方向相反。

二、竖直面上弹簧连接体平衡情景

情景解读：可能是竖直面上一端用轻绳悬挂的通过轻弹簧连接的几个物体;也可能是竖直面上两端用轻绳悬挂的通过轻弹簧连接的几个物体;也可能是竖直面上一端用轻绳悬挂的通过轻弹簧连接的几个物体，另一端作用一个水平力;也可能是竖直面上用轻杆悬挂的通过轻弹簧连接的几个物体;还可能是通过轻弹簧连接的两个物体，其中一个物体在水平面，另一个物体在力的作用下悬空等。

例2 如图2所示，两个中间有孔的质量均为M的小球A、B用一轻弹簧相连，套在一水平光滑横杆上。两个小球下面分别连一轻弹簧。两轻弹簧下端系在同一质量为m的小球C上。已知三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形。则（

）。

A.水平横杆对小球A、B的支持力均为Mg +mg

B.連接小球c的轻弹簧的弹力为mg/3

C.连接小球C的轻弹簧的伸长量为√3mg

D.套在水平光滑横杆上的轻弹簧的形变量为√3mg/3k

解析

把三个小球和三根弹簧看成一个整体，进行受力分析，利用对称性，由平衡条件可知，水平横杆对小球A、B的支持力N=Mg +1/2g，选项A错误。对小球C进行受力分析，由平衡条件得2F1cos 30°mg，解得连接小球C的轻弹簧

点评

求解竖直面上弹簧连接体平衡问题时一般需要考虑物体的重力。解答时需要注意轻弹簧的形变可能是压缩形变，也可能是伸长形变，且弹力方向沿弹簧恢复原状的方向。

三、倾斜面上弹簧连接体平衡情景

情景解读：可能是粗糙倾斜面上通过轻弹簧连接的两个物体;也可能是光滑倾斜面上通过轻弹簧连接的两个物体，一端受到挡板的作用力或一端受到拉力的作用;还可能是L型木板上通过轻弹簧连接的一个物体等。

例3 L型木板P（上表面光滑）放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板P上，另一端与置于木板P上表面的滑块Q相连，如图3所示。若木板P、滑块Q-起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力，则木板P的受力个数为（ ）。

A.3

B.4

C.5

D.6

解析

隔离滑块Q进行受力分析，受到竖直向下的重力，木板P对它的支持力，轻弹簧对它的沿斜面向上的弹力，共3个力。隔离木板P进行受力分析，受到竖直向下的重力，固定斜面对它的支持力和摩擦力，滑块Q对它的压力，轻弹簧对它的沿斜面向下的弹力，共5个力。

答案：C

点评

本题中因木板P、滑块Q一起沿斜面匀速下滑，故斜面对木板P一定有摩擦力，轻弹簧中一定有弹力。若题述中给出斜面上表面光滑的条件，则斜面对木板P没有摩擦力，轻弹簧中弹力为零。

四、水平面上弹簧连接体加速运动情景

情景解读：可能是多个通过轻弹簧直线连接的物体受到水平拉力的作用，也可能是多个通过轻弹簧直线连接的物体受到水平推力的作用，也可能是三个通过轻弹簧相连接成三角形的物体受到水平拉力的作用，还可能是三个通过轻弹簧相连接成三角形的物体受到水平推力的作用等。

例4 如图4所示，2 019个质量均为m的小球通过完全相同的轻质弹簧（在弹性限度内）相连，在水平拉力F的作用下，一起沿光滑水平面以加速度a向右做匀加速直线运动。设小球l和2之间弹簧的弹力为F1-2，小球2和3之间弹簧的弹力为F2-3，小球2 018和2 019之间弹簧的弹力为F2018-2019，则下列结论中正确的是（

）。

A. F1 2：F2-3：…：F2018- 2019 =1：2：3：…：2 018

B.从左到右每根弹簧的长度之比为1：2：3：…：2 018

C.如果突然撤去拉力F，那么在撤去拉力F瞬间，小球2019的加速度为F/m，其余小

球的加速度依然为a

D.如果小球1和2之间的弹簧从与小球1连接处脱落，那么脱落瞬间小球1的加速度为0，小球2的加速度为2a，其余小球的加速度依然为a

解析 隔离小球1，由牛顿第二定律得F1-2=ma;把小球1、2看成整体进行隔离，由牛顿第二定律得F2-3=2ma;把小球1、2、3看成整体进行隔离，由牛顿第二定律得F3-4=3ma;把小球1、2、3、4看成整体进行隔离，由牛顿第二定律得F4-5=4ma;……;把小球1到2018看成整體进行隔离，由牛顿第二定律得F2018-2019=2018ma。联立以上各式解得F1-2：F2-3：F3-4：F4-5：…：F2018-2019=1：2：3：4：…：2018，选项A正确。因弹簧长度等于弹簧原长加上弹簧伸长量，弹簧伸长量与弹簧弹力成正比，故选项B错误。如果突然撤去拉力F，那么在撤去拉力F的瞬间，小球之间弹簧的弹力不变，小球2018和2019之间的弹簧弹力F2018-2019=2018ma，由牛顿第二定律得F=2019ma，F2018-2019=ma'，解

，

得小球2019的加速度a=2018F/2019，选项c错误。如果小球同1和2之间的弹簧从与小球1连接处脱落，那么脱落瞬间，小球1受力为零，加速度为零，小球2受到小球2和3之间弹簧的弹力，则F2-3=ma2，解得小球2的加速度a2=2a，其余小球的受力情况不变，加速度依然为a，选项D正确。

答案：AD

点评

求解连接体各物体之间的作用力，需要隔离与该力相关的物体列方程解答。

五、竖直面上弹簧连接体加速运动情景

情景解读：可能是竖直方向上通过轻弹簧连接的两个物体，两端分别用轻绳连接，剪断下面轻绳的瞬间;也可能是竖直方向上通过轻弹簧连接的两个物体，上端用轻绳悬挂，下端用托板托住，撤去托板的瞬间;也可能是竖直方向上通过轻弹簧连接的两个物体，上端用轻绳悬挂，下端用托板托住，剪断上面轻绳的瞬间;还可能是竖直方向上通过轻弹簧连接的两个物体，下端用托板托住，上端受到竖直向上的拉力作用等。

例5 如图5所示，质量分别为m和2m的A、B两物块通过一轻弹簧相连，将物块A用轻绳悬挂在天花板上，用一木板托住物块B。调整木板的位置，当系统处于静止状态时，悬挂物块A的轻绳恰好伸直且没有拉力，此时轻弹簧的形变量为x。突然撤去木板，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（

）。

A.撤去木板后，物块B向下运动x时速度最大

B.撤去木板后，物块B向下运动2x时的速度最大

C.撤去木板瞬间，物块B的加速度大小为g

D.撤去木板瞬间，物块B的加速度大小为1.5g

解析 当物块B受到的合外力为O时，加速度为O，速度最大，此时T2=2mg=kx2，又有mg =kx，解得弹簧的伸长量x2=2x，即撤去木板后，物块B向下运动3x时的速度最大，选项A、B错误。撤去木板瞬间，物块B受到的合外力为3mg，由牛顿第二定律知其加速度大小为1. 5g，选项C错误，D正确。

答案：D

点评

解答弹簧连接体问题时需要注意在撤去木板（其他外力）瞬间，轻弹簧的弹力保持不变。

六、倾斜面上弹簧连接体加速运动情景

情景解读：可能是光滑倾斜面上通过轻弹簧连接的两个物体，两端分别用轻绳连接，剪断下面轻绳的瞬间;也可能是光滑倾斜面上通过轻弹簧连接的两个物体，上端用轻绳悬挂，下端用托板托住，撤去托板的瞬间;也可能是光滑倾斜面上通过轻弹簧连接的两个物体，上端用轻绳悬挂，下端用托板托住，剪断上面轻绳的瞬间;还可能是光滑倾斜面上通过轻弹簧连接的两个物体，下端用托板托住，上端受到沿斜面方向拉力的作用等。

例6 如图6所示，在足够长的倾角θ=30°的光滑斜面上，挡板C与斜面垂直。质量均为m的两相同物块A、B与劲度系数为k的轻弹簧两端相连，在挡板C的作用下处于静止状态。现给物块A施加沿斜面向上的恒力F，使A、B两物块先后开始运动。已知弹簧始终在弹性限度内，下列判断正确的是（ ）。