实对称矩阵转化为对角矩阵方法及应用

程克玲

(吕梁学院，山西 汾阳 032200)

1 对角化矩阵具备条件

矩阵对角化是整个高等数学的核心内容之一，研究的历史也很久远，起源于市场生活，生活中不断总结进行演化，进而以完整体系的矩阵体系及概念进行呈现，衍生出了相应体系下的的矩阵，以及相关数据化性质，进一步推动了矩阵对角化的应用，具有广阔的发展前景。这将有助于在不同科技领域中的应用，数据化的科技也使得各行各业不断产生多元化，这对角矩阵的广泛运用也提供了广泛的可能性。实对称矩阵正交对角化是整个线性代数的核心与重难点，也是不可或缺的一部分。[1]本文从实对称矩阵，相应的相似对角化的相关路径与步骤进行分解，首先求S解相应矩阵的特征值，求解的方法很多，最终得到的数值相同，接着求出对应的特征值和对应的特征向量，进而将这些无关的线性向量进行排列组合，再将其单位正交化，进而获得其对角矩阵。

线性代数是最抽象、最难的一门课，其难点是：与其他各章节有一定的联系，但是联系较为隐秘，将这一关系在各个章节之间打通，方能贯通好线性代数。在学习中，基础需要扎实，寻根究底，证明过程要真正弄明白。比较难的部分，大多数学生理解会比较粗糙，感觉是似是而非。基础不牢、死记硬背无法真正实现对线性代数的真正理解，所以，上课过程中，需要重点解释，强化难点内容，能够对正交矩阵的构成解释通透。本文对线性代数中重难点——非负矩阵的对角化进行阐述，以达到学生能够真正地理解这部分内容的最终目的。

对于n阶的矩阵A，首先矩阵的特征向量 x 和特征值λ满足：

Ax=λx

那么以特征向量为列向量，可以构成矩阵S:

S={x1,x2,x3……xn}

(1)

AS=A{x1,x2,x3……xn}

=(Ax1,Ax2,Ax3,...Axn)={λx1,λx2,λx3,……λxn}

={x1,x2,x3……xn} diag(λ1,λ2,λ3,...λn}

(2)

即 AS=SΛ

其中S实矩阵，可逆。

Λ=S-1AS

对角化的前提条件便是保证 S 可逆。可逆前提是使得S 的矩阵秩为n 。[2]讨论一个矩阵是否可以实现对角化，方法也很多，求解其对角矩阵的方法也很多，上述是列举的主要用到的方法，可以根据具体的情况进行求解。每一个特征值可以作为基数，特征数可以是单一的，也可以是重根，这并不是判断是否可对角化的条件，还需要深入分析。[3]当特征值是重根时，这便意味着，矩阵的秩是n，特征值数量n-r，必然会小于n，此时需要进入第二阶段进行判决，将重根基础解系进行求解，此时基础解系的总数等于n时，仍可以实现其对角化。

(1)n阶矩阵 A ，经过矩阵运算，求解有n 个特征值，就是说，如果相应的数值在一定区域具备n 个不同的根。

(2)线性映射 T : V → V 带有 n=dim(V) 是可对角化的，如果它有 n个不同的特征值，就此时矩阵根的数目仍是 n。

(3)定义在域 F 上的 n × n 矩阵 A，判断该矩阵是否可以实现对角化，可以使用一个简单方法直接判断该重根的维数是否等于特征向量数目，如果相等，便可以进行矩阵的对角化。

总结得出：

n阶方阵对应的n个线性无关推论：对有n阶方阵的秩也是n，那么特征值便是n,则必然可对角化。如果n阶方阵存在重复的特征值,该特征值重复数目便是可以等于该特征向量个数，便是可相似对角化，因此处理这些矩阵特别简单：它们的特征值和特征向量是已知的，将这一简单对角元素对应的幂矩阵。

数aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

矩阵分解指的是其矩阵的运算，分解方法有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

把可以对角化的矩阵称为单纯矩阵。判断是否为简单矩阵的方法如下：

1)n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量;

2)n阶矩阵A具有n个不同特征值;

3)n阶矩阵A含有重特征值时，重根重数等于其特征向量数;

4)n阶矩阵A的最小项多项重根数目为零。

特殊的单阵是正规阵(包括Hermite矩阵、酉矩阵、对角阵等)。

可对角化矩阵，对角化的方法是整个高等数学的重难点，在金融经济领域有着广泛的应用，特别当需要处理的数据过多、数据的变化很快时，必须体现出这个矩阵核心作用，特征值将会是整个数量的核心所在，也会是处理繁琐数据的钥匙，对角化后的数据会大大降低其复杂性，并可以将其化为简单的幂矩阵进行分解，进而对整个数据进行深入透彻分析及应用。在此背景下，数字化的矩阵运算需要运算方法的优化与升级，实现最优化。

2 矩阵对角化过程

给定矩阵A，需要求出其特征数，判断其矩阵的特征向量的重数，是否可以实现对角化，以及使用的方法是否最为简便。

(1)求特征多项式，matlab命令p= poly(A)；

(2)求出特征值，并且求出相应的对应特征多项式；

(3)分别将以上求出的特征值，求出分别的特征向量；

(4)依据每个相应的特征值，进行每个特征值的基础解系化简，进而将其进行相应的正交化；

(5)对正交化后的向量单位化。

已知λ1,λ2,…,λn为实对称矩阵A的n个特征根，对应n个特征向量P1,P2,…，Pn，且证明因 Ap=λp, AT=λT, 等价，现只需证明 AT=λT即可。由特征值的定义可得，Ap=λp,

=λi1ηi1

(3)

即ηii为A对应特征值λij的特征向量，η1，η2……ηii，线性无关且是两两正交。

由数学归纳法可得，Aηii=ληii(i=1,2,…,n), 则向量η1，η2，η3，ηii为A的n个特征向量，当然也满足相应的线性无关条件。即向量q1,q2, …，Pn为A的n个单位特征向量，线性无关且两两正交。

取 P=(p1,p2,…pn)则有p-1AP=Λ。向量组P=(p1,p2,…pn)经过Schmidt正交单位化后得到A的n个线性无关单位特征向量的数值，q1,q2,…qn。令Q = (q1,q2,…，qn)，则Q为正交矩阵，且 QTAQ = Q-1AQ,则有：

(4)

事实上，如果满足Schmidt正交化,对相关的特征向量进行相关的可逆变换，特征向量组便是等价的，举证便能实现正交相似对角化。说明将 P= (p1, p2,…，pn)的列向量正交化后可逆矩阵N= (η1, η2, η3,…ηn)仍满足N-1AN=Λ。将N的列向量单位化，进而实现相应的Q对角阵，这对于实对称矩阵相似性具有很好的解决方法，首先要正确解决其单位正交化问题。

矩阵等价关系转到对抽象、合同关系中会有难度，也独具魅力，只能是学它、懂它，理解体会。若全身心投入研究，将其应用到不同的场所中，便能够理解这其中的奥秘。随着目前数据经济背景不断延伸，数字化的建设急剧需要相关数字化理论支持，矩阵的运算十分重要，应大力实现这些基本运算方法的优化与升级，实现最优化，实现最优组合优化。

3 矩阵对角化研究方向

P是怎么构成的[A×an]=[λ1×a1,λ2×a2…]，如果λ=3找不到3个线性无关的解[λ1×a1,…λn×an]=P×B,将上面等式换一种描述就是 A=P×B×P-1,但是如果A有某个λ是个重根呢,是个3重根，即Aa=λa,如果阶n方阵存在重复的特征值,但是经过验证仍可实现相应对角化，则能知道，P由n个线性无关的向量组成。

特征方程(3I-A)x=0，方法不同求解的方法路径也不同，在不同的情况下，P可逆,十分重要,能实现这一可逆矩阵的对角化。

A求解得到n个不同的特征值,求解得出其对应的向量矩阵，矩阵P=[a1a2…an],直接得出n个无关的线性无关的数向量,进而AP=A×[a1，… a2] ,特征向量具备不会存在线性相关的现象，A有n个不同的特征值λi，B=λ[1 0 0] ,即Aai=λi×ai,比如λ=3,n阶方阵存在n个线性无关的特征向量推论。n阶方阵可实现绝对对角化的必要条件是：特征值对应的所有的特征向量，全部不是线性相关，而是线性无关。P要满足可逆，an=[A×a1A×a2] ,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在。

在分解P中，分析得出P有n个向量，满足全部线性无关的条件下,便是可逆，才能借助P，深入分解A，实现A的矩阵对角化。但是如果A有某个λ是个重根的情况下，矩阵对角化的条件需要重新进行对角化分析，再如：如λ=3是个3重根，特征方程(3I-A)x=0解可以是3个，也可以是少于3个，如果λ=3的线性无关的数量少于3，既可以得出结论：A就不能对角化了,原因是P矩阵不存在，即A对角化的P矩阵不存在导致A无法实现对角化.

对于对角线相应的数据元素可以为0或其他值；对角线上元素全为1为单位矩阵。

4 矩阵对角化的深层次应用及展望

矩阵是当前数理统计中常见的内容之一，可以广泛地应用在电路学、力学、光学以及量子物理；这一应用还可以将其应用在三维动画制作矩阵之中。矩阵的运算已经演化成为当代大数据产业中数理计算的核心之一。对称矩阵对角化问题是既简单也复杂的，如何实现这一矩阵的运算，得到相关庞大数据的关键是特征数值，进而借助特征数值进行庞大数据的简化，实现相关运算的合理与简化，是矩阵数据简化的重要目的及途径，也是实现整个数据发展的必不可少的处理工具。目前相应的矩阵理论发展已经演化成为较为成熟的理论，可以应用在天体物理、量子力学等领域，以及当代应用的一种推广——无穷维的矩阵。[6]此外，相关的研究学者在对数据深化研究分析之下，找出了更加合适的方法，被称为“近似联合对角化”，是一种非正交的运算算法，这一方法的理论相对来说是正交化与相似对角化的方法融合，该算法的目标是找到两个不同的一般(不一定正交或平方)对角化矩阵，使基于梯度的最小二乘(LS)准则最小化，并采用最优秩近似方法，它可以用来计算三阶张量的正则并矢分解(CPD)，在这种情形下提出了一种新型的对角化方法的一个应用程序(FDM)，该程序研究同时还解决更高一元代数方程的数值系数问题，这其中提到只有一小部分的根，能够满足在指定位置附近的复杂平面或指定的间隔。

随着时代的进步发展，FDM方法实现了数据进程的演化，在矩阵特征值的基础上进行深入融合，实现全面矩阵特征。[4]采用配对法，求解相应的矩阵的高次N代数方程的根，将此结果作为相应的矩阵A的特征值。通常所有特征值都可以用移位QR迭代法求解。当代学者在这一基础上提出了一种基于系统矩阵对角化的常微分方程线性方程组变系数解析解的计算方法[5]。当前学者对角化问题系统研究热点是对角矩阵化特征值问题的推广，因此解析是由构成基本解系统的线性无关特解的和得到的。在应用领域之中，考虑了时间线性函数的点推动力学方程，也可以在空间中，利用拟线性一阶偏微分方程系统，实现平稳李亚普诺夫问题的解，构造了具有“鞍节点”型驻点的光滑稳定分形“曲面”或条件稳定流形，该对角化方法可以将这些结果应用在非线性奇异边值问题，拓展了矩阵表述和数值分析研究可能性。[6]

此外对角矩阵的延伸应用中最常见是当代大数据处理下的多个耦合的变量尽可能的解耦。如：常用的一个彩票中奖理念中，预先选择一定的号码，运用某种矩阵，将数字填入对应的位置，若选择的数字中存在与开奖数字码相同的概数，便会产生奖级的奖，因此这种旋转矩阵理论的应用，实现低载高效的收益，投入成本也将低于复式投注。旋转矩阵的原理便是矩阵组合设计：覆盖设计。所谓覆盖设计，又称为相应的填装设计，在欧洲又被喻为斯坦纳系，这一理论方法的背后是数据运算的升级，这些数据的核心目的是实现整个数据的优化问题，当然这一理论也满足了相应的大数据背景下急剧处理优化该问题的需要，这一问题的核心是为了实现整个数据行业的进步，也为数字化的基础建设提供了技术支持及不竭动力，在此背景下，数字化的建设将会飞速向前运转，因此矩阵的运算就会显得尤其重要，因此需要大力度的实现这些基本运算方法的优化与升级，实现最优化，实现最优解，满足最急剧的数字化组合优化问题。它们解决的核心问题是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求，实现大数据下多个耦合的变量尽可能的解耦。