例析立体几何中的作图问题求解策略

蔡海涛

立体几何是高中数学的一个重要模块，高考中，这一模块重点考查学生的空间想象能力和推理论证能力，近年来，蕴含推理论证的立体几何作图问题在高考中频频出现，如2016年全国I卷文科第18題;2016年四川卷理科第18题;2013年福建卷理科第19题;2013年福建卷文科第18题;2013年湖北卷理科第19题;2013年四川卷理科第19题，文科第19题;2013年安徽卷理科第15题、文科第15题;2009年安徽卷理科第18题;2002年全国卷文科第22题等，这类试题对于空间思维相对较弱的学生来说，是个不小的挑战，实测情况考生得分率很低，这一现象引发笔者的思考，我们该如何提高学生的作图能力？经调查访谈发现，一般的立体几何作图学生能听懂，但是他们往往只是知其然而不知其所以然，不知道作图的理论依据是什么，通过对高考题的分析，立体几何的作图大致可以分为涉及平行关系和涉及垂直关系的作图问题，下面就从平行和垂直两个方面来探究立体几何中的一些作图的依据，希望在提高立体几何作图能力、空间思维能力方面起抛砖引玉的作用。

1平行问题

例1（人教A版必修二63页B组第1题改编）一木块如图l所示，点P在平面VAC内，点D，E分别为棱AB，阳中点。

（1）过点P和DE将木块锯开，应怎样画线？

（2）过点P将木块锯开，使截面平行于直线馏和AC，应怎样画线？

解（1）过点P作MN平行于VA，交AC于点M，交VC于点Ⅳ，连结DM，NE，ED，即为所求画线，

（2）过点尸作FG平行AC，交VC于点F，交VA于点G，过点G作GH平行VB，交AB于点日，过点日作HI平行AC，交BC于点I，连结IF，则平面FGHI即为所求。

评析本题选自课本习题的改编，考查了涉及平行关系的作图问题，第（1）问要作出平面PDE与三棱锥V-ABC的交线，要注意引导学生避免直接连结PD，PE，DE的错误，首先要发现DE与平面VAC平行，根据线面平行的性质，平面PDE与平面VAC的交线与直线DE平行，又因为DE//VA，所以过点P作VA的平行线MN，然后再连结D，M，N，E各点就可以;第（2）问是要作出一个截面，使得这个截面平行于直线VB和AC，利用线面平行的性质，这个截面与平面VAC的交线及与平面ABC的交线均与AC平行，同理，作出这个截面与平面VAB的交线及与平面VBC的交线，这两道涉及平行关系的作图问题，均是由线面平行的性质人手，探究几何作图的途径，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归转化思想，考查直观想象、数学抽象等核心素养。