例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

黄贤琼

摘要：“数形结合”是一种重要的数学思想，在初中函数教学中有着重要的作用。在二次函数教学中，渗透“数形结合”这种重要的数学思想，对于解决二次函数问题尤为重要。“数形结合”的本质是：利用几何图形的性质反应数量关系，而数量关系决定了几何图形的性质，通过“以形助数”或者“以数解形”的方式来解决问题，起到事半功倍的效果。

关键词：数形结合 数学思想 二次函数

著名数学家华罗庚说过：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形无数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。“数形结合”是一种重要的数学思想，在初中函数教学中有着重要的作用。二次函数是继一次函数后，初中学生学习函数的一个难点，也是中考的一个热点。那么在二次函数教学中，渗透“数形结合”这种重要的数学思想，对于解决二次函数问题尤为重要。“数形结合”的本质是：利用几何图形的性质反应数量关系，而数量关系决定了几何图形的性质，通过“以形助数”或者“以数解形”的方式来解决问题，起到事半功倍的效果。笔者从以下几个角度来阐述二次函数教学中“数形结合思想”的应用。

一、“以形助数”，充分利用二次图像解决函数性质

《二次函数》教学中，实现“数形结合”的途径是充分把握好二次函数图像与性质的关系。“以形助数”是要根据问题的已知条件，解读暗含的数据信息，准确的画出函数的图像，然后直观的形象的分析，利于找出解决问题的思路。

例如，已知二次函数图像与x轴的交点的横坐标为1，当x=2时有最小值-1，求此二次函数的解析式。

解析：根据题目的已知条件，分析关键点，可以得到图像的特征。二次函数的图像是抛物线，我们画出图形，如下图所示。根据图形我们知道二次函数图像与x轴交点为（1，0），顶点为（2，-1），对称轴是x=2，利用抛物线的对称性，我们可以得出二次函数与x轴的另一个交点为（3，0）。然后利用待定系数法，可以求解。

二、“以数解形”，解讀精确数据阐述函数的图像与性质

数学问题，都是围绕着“数”与“形”来展开的，每一个几何图形都蕴含着一定的数量关系。在二次函数相关的教学过程中，我们要充分利用图像，将图形信息转化为数量关系，能够有效的培养学生解决问题的思维能力。在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

例如：如图是抛物线 的图像，请尽可能多的说出一些结论。

解析：本题考查的是学生对几何图形的解读，二次函数的图像与性质教学中，我们引导学生从图像的特殊点来分析其性质。可以从开口方向、对称轴、与x轴的交点，最高点或者最低点等相关知识点来分析。从图像上看，此抛物线开口向下，说明a<0;对称轴是x=-1;与x轴有两交点（-3，0）和（1，0）;最高点是（-1，4）。

由此我们还可以得到y的最大值是4，进一步可以根据二次函数的解析式的顶点式和两根式和一般式，得出此抛物线的解析式为： 。

三、“数”与“形”相互转化，巧妙直观的分析问题

在学习二次函数之前学生已经学习过一次函数和反比例函数，已经初步接触过函数教学中的“数形结合”思想的应用。因此，在二次函数教学中，应该更积极引导学生掌握二次函数的抛物线图像和性质，有效地渗透“数形结合”思想。利用二次函数解析式及其抛物线图像特征，“数”与“形”相互转化换，有机结合，可以大大开拓学生的解题思路，从而为研究和探求数学问题开辟一条重要途径。

在教材教学中，我们可以引导学生准确把握二次函数中的“数”与“形”的关系，构建知识体系，形成思维导图，对于以后进一步学习有着重要的作用。

四、“数”与“形”有机结合，抽象思维与形象思维和谐结合

数形结合思想是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，即有效的将抽象思维和形象思维结合起来。“数”与“形”是既对立又统一的关系。通过形加深对数的理解，通过数加深对形的认识，二次函数教学中所蕴含的数形结合思想，这是帮助学生深入了解数形关系，并运用数形结合思想解决数学问题的契机。

“数形结合”思想在中学数学教学中作为一种广重要的教学方式，有着广泛的应用。二次函数教学中，灵活运用“数形结合”思想，还需要学生准确读图和绘制图像。让学生经历在二次函数中把已知的数量关系转化为图像特征的问题及把图像特征的问题转化为数量关系的问题的探究过程，体会数与形的密切关系，从而提高学生分析问题解决问题的能力。教师在数学课堂教学中教会学生运用“数形结合”的思想方法，才能更有效的提高教学质量和教学效率。