联合连通拓扑下多无人机编队控制

周绍磊，赵学远，戴邵武，王帅磊

(海军航空大学，烟台 264001)

0 引言

近年来，由于编队控制在各个领域具有广泛的应用前景，已经成为了控制界内的一个极具吸引力的研究课题。基于协同控制，特别是多智能体系统一致性理论在文献[1-6]中均取得了大量成果。受一致性理论的启发，如何设计控制器，使其仅仅依赖于邻居智能体信息，从而使得多智能体形成期望的编队已经引起了广泛的关注。

文献[7]为二阶多智能体系统设计了一致性控制器，使其在无向拓扑图下形成期望编队。文献[8]解决了多无人机系统在有向通信拓扑条件下形成时变编队的问题。上述文献在多智能体编队控制方面都取得了较好的成果，但是要求通信拓扑结构保持不变;而在实际系统中，由于受外界影响，拓扑结构发生变换，上述结论将不再适用。文献[9]为多智能体系统设计了基于事件触发函数的一致性控制器，使得多智能体系统形成了期望编队，一致性控制器仅在事件触发函数触发时刻进行采样，有效地节约了系统通信带宽和计算资源。文献[10]基于以上考虑，研究了多无人机系统在切换拓扑条件下的编队控制，设计了一致性控制器，并利用线性矩阵不等式方法，给出了控制器的设计步骤，但要求每个切换拓扑图至少包含一条有向生成树。文献[11]研究的问题同样是针对有向切换拓扑，但其通信拓扑条件较文献[10]更为严格，其假设所有可能的拓扑图是强连通和平衡的。文献[12]的研究结果表明，在无向通信拓扑条件下，无论拓扑图如何切换，多智能体系统均能形成期望编队。对比文献[10]和文献[11]，文献[12]对多智能体系统的通信要求更为苛刻。

面对未来战场环境，多无人机作战将会成为重要形式，使得编队控制成为多无人机控制领域的重要研究课题[13]。考虑若外界环境对通信拓扑影响更为明显，导致通信拓扑在某时刻不能包含有向生成树的情况，本文研究了在联合连通拓扑条件下的多无人机时变编队控制问题，进一步降低了对多无人机系统的通信要求。

1 基础知识

1.1 符号约定

符号Rn×n和Cn×n分别表示n×n维的实矩阵和复矩阵。对于任意μ∈C，其实部表示为Re(μ)。In是n×n维的单位矩阵。对于方阵A，λ(A)表示其特征值；max{λ(A)}和min{λ(A)}分别表示矩阵A的最大和最小特征值。A⊗B表示矩阵A和B的Kronecker积。A>B和A≥B分别表示A-B是正定和半正定的。

1.2 图论

智能体之间的通信有向拓扑图表示为G=(V,E,A)，其中V={v1,v2,…,vN}为拓扑图的节点集合，E⊆V×V为拓扑图的边集合，A=[aij]N×N为拓扑图的具有非负元素aij的邻接矩。aij表示节点vi和vj之间的连接权重，表示节点vi可以接收到节点vj的信息，否则aij=0。如果存在一个节点vi，从这个点出发沿着有向边可以到达图中的任意其他点，称图G包含有一个有向生成树，该节点vi为根节点。根据连接权重aij=1将节点vi的邻居定义为Ni∶={j∈V∶aij=1}。图的Laplacian矩阵定义为L=[Lij]N×N，其中Lii=∑j≠iaij,Lij=-aij,i≠j。

1.3 引理

引理1[14]：图G的Laplacian矩阵L至少有一个零特征值，其他非零特征值均具有正实部；如果有向图G包含有一个有向生成树，则0是L的简单特征值，1N是其对应的右特征向量。

引理2[15]：对于图的Laplacian矩阵L∈RN×N，那么存在一个矩阵M∈RN×N-1使得L=ME，其中E∈R(N-1)×N，其特定形式为

进一步，如果图包含一个有向生成树，那么矩阵M是列满秩的,且矩阵EM的特征值是L的非零特征值，则Re(λ(EM))>0。

引理3[15]：对于在引理2中定义的矩阵EM，如果图包含有一个有向生成树，存在一个对称正定矩阵Q和一个正标量参数α使得

(EM)TQ+QEM>αQ

(1)

其中，0<α<2min{Re(λ(EM))}

2 问题描述

在本文，将无人机视为一个质点，考虑由如下动力学模型描述的N架无人机构成的多无人机系统

(2)

其中，xi(t)和vi(t)分别代表在t时刻第i架无人机的位置和速度；ui(t)代表在t时刻第i架无人机的控制输入。在本文的研究中，假设无人机在三维空间的运动相互解耦，因此为了求解方便，仅在一维空间对其进行研究，所得结论完全可以推广至三维空间。

(3)

其中

ui(t) =K1(ηi(t)-hi(t))+wi(t)+

i=1,2,…,N

(4)

其中，K1、K2为待求的反馈矩阵。

定义1：多无人机系统能够形成编队h(t)，当且仅当

(5)

对于无人机系统(2)的任意初始状态均成立。

本文将要研究的问题是，当无人机之间的拓扑结构为联合连通时，在控制器(4)的作用下，如何形成期望编队。

3 编队分析

将控制器(4)代入系统(2)并整理可得

(Lσ(t)⊗BK2-IN⊗BK1)h(t)+

(IN⊗B)w(t)

(6)

令θi(t)=ηi(t)-hi(t)，可得

(IN⊗A)h(t)+(IN⊗B)w(t)-

(7)

所以

(8)

因此系统(2)的编队控制问题转化成了系统(7)的一致性问题

令ξi(t)=θi(t)-θi+1(t)，可得ξ(t)=Eθ(t)。

故

(E⊗A)h(t)+(E⊗B)w(t)-

(9)

因此当且仅当

(10)

且

(11)

是渐进稳定的，系统能够形成编队。

根据式(10)可求得

(12)

因此系统(2)的编队控制问题等价于系统(11)的稳定性问题。

(13)

因此，将系统(11)转化为了如下时间平均系统

(14)

由引理3可得，存在一个对称正定矩阵Q>0和一个正定标量参数α使得

(15)

算法：如果系统通信拓扑图切换足够快，按照如下步骤所设计的控制器给出控制器(4)能够使得系统(2)形成期望编队。

1)配置(A+BK1)极点，使其极点位于负半平面，求得反馈矩阵K1；

2)根据步骤1)中求解的矩阵K1，求解线性矩阵不等式(16)，得到可行解P，进而确定K2=BTP。

(A+BK1)TP+P(A+BK1)-2αPBBTP<0

(16)

证明：构造如下Lyapunov函数

V(t)=ξ(t)T(Q⊗P)ξ(t)

(17)

令K2=BTP,将式(14)沿着式(11)求导可得

(18)

由式(15)可得

2αPBBTP))ξ(t)

(19)

因此根据引理4可得存在一个正常数ε*>0，使得对于任意的ε∈(0,ε*)，如下的系统是渐近稳定的

(20)

其中，ε刻画了拓扑图G(t/ε)的变化速度。这表明，如果拓扑切换得足够快，系统(11)是渐进稳定的，即系统(2)在控制器(4)作用下能够形成期望时变编队。

4 仿真验证

由于本文假设无人机三维运动相互解耦，故仿真时只是针对其中一维空间运动进行仿真，用以验证所设计控制器的有效性。

设无人机的通信拓扑结构在{G1,G2,G3}中随着时间切换，拓扑结构如图1所示，每个通信拓扑均不包含有向生成树，而整个拓扑集合包含一个有向生成树。

图1 通信拓扑图Fig.1 Communication topology

从图1可以看出，3个不包含有向生成树的通信拓扑图构成的联合连通拓扑图包含一条有向生成树，其对应的Laplacian矩阵为

设无人机初始状态为

无人机期望编队函数

表示第i架无人机在三维空间中的期望位置，由编队函数可知，期望编队为4架无人机在空间中构成时变的平行四边形。

图2 拓扑切换过程Fig.2 Topology switching process

假设无人机编队的通信拓扑结构按照图2所示的切换过程进行切换，即G1→G2→G3→G1→…，每个拓扑图的驻留时间为0.2s，因此，每隔0.6s，联合拓扑图就包含一条有向生成树。根据算法给出的步骤，求得反馈矩阵

当4架无人机的位置状态与期望编队的位置误差达成一致时，将形成期望编队。

图3所示为无人机的实时位置与期望编队函数位置误差，从图3中可以看出，当t=2.5s时，误差趋于一致，意味着此时多无人机系统形成了期望编队。

图3 无人机与编队函数位置误差Fig.3 Position error of UAV and formation function

图4和图5分别为多无人机系统在1s和3s时，每架无人机在三维空间中的位置，每架无人机的表示符号均在图例中给出。从图4中可以看出，1s时多无人机系统仍未构成空间平行四边形，即未形成期望编队，这与图3中1s时无人机与期望编队函数位置误差未达成一致。从图5中可以看出，2.5s时，多无人机系统已经在三维空间中形成平形四边形编队，即达成期望编队，与图3中2.5s时无人机与期望编队函数位置误差达成一致。

图4 1s时无人机空间位置Fig.4 Space position of UAVs at 1s

图5 2.5s时无人机空间位置Fig.5 Space position of UAVs at 2.5s

5 结论

本文基于一致性理论，设计了一致性控制器，使得多无人机系统形成了期望编队，得出了以下结论：

1)相比于已有结论，本文降低了多智能体系统编队在形成过程中对通信条件的要求，降低了环境对通信的影响，同时节约了系统的通信带宽。

2)本文通过变量代换和Laplacian矩阵的特殊分解，将编队控制问题简化为低阶系统的渐进稳定问题，解决问题方法更为简便。