关注基础 凸显核心——2018年江苏省南京市中考试卷第26题解法赏析及教学启示

陶家友

（江苏省南京市溧水区东屏中学）

2018年江苏省南京市中考试卷秉持一贯的风格，整份试卷立意求新，层次分明，亮点纷呈，试卷第26题以能力及素养立意，内涵丰富，凸显对数学核心素养的考查，聚焦初中数学的核心知识，考查学生对基本图形的识别和逻辑推理能力，重点考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

一、试题呈现

题目如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为点F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.

图1

（1）求证：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径.

二、命题立意

作为一道几何压轴题，既要考查学生对核心知识的综合运用能力，又要考查学生的数学思维品质，同时又要树立起良好的教学导向，充分发挥教学指挥棒的作用.命题组在遵循试题“基于课标，源于教材”的命题原则基础上，关注了几何基本图形的自然生长，突出了对学生数学核心素养的考查.第（1）小题注重基础，重点考查基础知识与基本技能，突出体现知识立意，学生容易上手并为解决第（2）小题做铺垫；第（2）小题通过几何基本图形的自然生长，重点考查学生综合运用知识解决问题的能力，该问的设计，突出基本图形，考查学生的转化能力，使此题思维含量更进一步.试题突出对学生逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等核心素养的考查.

三、解法赏析

此题第（1）小题入口宽，先利用“同角的余角相等”，得∠DAF＝∠CDF.再根据圆内接四边形对角互补，得 ∠CDF＋∠ADF＝90°.又由 ∠FGA＋∠DGF＝180°，得出∠FGA＝∠FCD.根据“两角对应相等的两个三角形相似”，证得△AFG∽△DFC.方法自然合理，当然选择证明另一组对应角∠AFG和∠DFC也可以.

第（2）小题求⊙O的半径，解题思路较多，思路和解法如下.

思路1：“所有可求”，拾级而上.

出于对“母子型”相似模型的熟悉，已知两条线段的长即可求出基本图形中所有的线段的长，本着“确定即可求”的原则，自然先求出AF，DF的长.再利用第（1）小题的三角形相似的结论求出AG的长.

解法1：如图2，连接CG.

图2

再由△ADF∽△EDA，求出AF，DF的长.

又根据△AFG∽△DFC，得.求出AG，DG的长.

再由勾股定理，求出CG＝5.

依据“90°的圆周角所对的弦是直径”，得⊙O的半径为.

思路2：“等比代换”，逻辑推理.

出于对“旋转”型相似的有效识别，即△AFG∽△DFC，将转化为，再利用“母子型”相似，将转化为，通过“等比代换”的逻辑推理替代了繁杂的运算.

解法2：如图2，连接CG.

易证△EDA∽△ADF（也可证明△EFA∽△AFD）.

又由DA＝DC，可得AG＝EA＝1.

再由勾股定理，求出直径CG的长.

解法3：如图2，连接CG.

由圆内接四边形GFCD，可得∠GFC＝90°.

又由∠GDF＝∠GCF，可证△EDA∽△GCF.

进而得AG＝1.

再由勾股定理，求出直径CG的长.

解法4：通过锐角三角函数来替代直角三角形相似的转化.

思路3：“隐圆”补全，复原“弦图”.

出于对“弦图”的熟悉，将残缺的基本图形“弦图”进行复原，通过三角形全等求出关键的BH，替代了相似的相关转化运算.

解法5：如图3，设BC与⊙O交于点H，连接FH，DH.

图3

由正方形ABCD，可得∠DCH＝90°.

由圆内接四边形DFHC，可得∠DFH＝90°.

又由∠AFD＝90°，可证A，F，H三点共线.

易证△ADE≌△BAH.可得BH＝AE＝1.

再由勾股定理，求出直径DH的长.

思路4：构造“垂径”，“勾股”求解.

出于对求圆半径的模型——垂径定理的熟悉，通过构造垂径定理的基本图形，直接利用勾股定理求解.

解法6：如图4，过点O分别作CD，DG的垂线OI，OH，垂足分别为点I，H.

图4

根据解法2，可求出AG＝1.得DG＝3.

进而在Rt△OID中，利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径.

思路5：“确定”可求，“暴力”解析.

出于对正方形图形的“确定”及熟悉，寻求用建立平面直角坐标系的解析几何的代数方法来解决几何问题.

解法7：如图5，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

图5

由于图形中线段长都确定并可求，先求出点F的坐标，再分别求出线段DF，CF的垂直平分线的解析式.然后求出两条垂直平分线的交点O的坐标，最后根据勾股定理求出圆的半径.

思路6：化“斜”为“直”，构造“相似”.

通过点F向正方形的两边作垂线，从而化“斜”为“直”求出FC的长，再利用三角形相似求出直径.

解法8：如图6，连接FO并延长，交⊙O于点H，连接HC.过点F分别作AB，BC的垂线FM，FN，垂足分别为点M，N.

图6

先根据△FMA∽△EAD，求出AM，FM的长，进而求出BM，FN，CN的长.在Rt△FNC中，利用勾股定理求FC的长，然后利用△FCH∽△DAE求出CH的长，最后可求得圆的半径.

四、拓展研究

波利亚曾经说过，没有任何一道题目是彻底完成的.在进行中考命题时，由于试题难度、考查知识分布等因素限制，有一些命题思考和功能挖掘未能如愿.关于此题第（2）小题有许多相关的问题，值得进一步深度思考和拓展探究.

拓展1：若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求GF的长.

【评析】由于正方形中所有的线段确定即可求，可以在求出直径后，利用△ADE∽△FCG，进而求出GF的长度，难度有所提升.

拓展2：若正方形ABCD的边长为4，AE=x，求⊙O的半径（用含有x的式子表示）.

【评析】秉持从特殊到一般的数学思想，将AE＝1改为AE=x，提升对学生数学运算素养的考查，运算量有所增加.

拓展3：若正方形ABCD的边长为4，AE=x，DG=y.求y与x的函数表达式.

【评析】如图7，秉持动静转化，数形结合思想，将此题改编成函数题，借助函数更能揭示几何图形中线段之间的变化关系.

图7

拓展4：若正方形ABCD的边长为4，当⊙O与AB相切时，求AE的长.

【评析】如图8，点E是此题中的关键点，点E在AB上的位置决定了点F的位置，而点F的位置又确定了⊙O的位置和大小.那么，当⊙O与边AB相切时，点E在AB的什么位置呢？进行这样的拓展，内涵丰富也很自然，意在引导学生追寻图形的形成过程，动中取静，从特殊到一般，再到特殊.由特殊的相切位置关系，揭示出线段之间的数量关系，充分考查了数形结合思想，难度有所提升.连接CG，过点O作OI⊥CD，交CD于点I，IO的延长线交AB于点H，在Rt△OIC中，可通过垂径定理和勾股定理，计算出圆的半径和直径，进而算得DG和AG的长，再通过相似三角形的对应边成比例进行转换求得AE的长.

图8

推广：如图9，在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为点F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.

（1）求证：△AFG∽△DFC；

（2）若AB＝3，BC＝5，AE＝1，求⊙O的半径.

图9

【评析】原题目还可以继续一般化，将原题目的正方形背景换成矩形，更能揭示问题的本质.此题的结论除了AG＝EA之外，其他结论都依然成立，包含各组相似三角形，依然可以进行上述一系列的变式拓展，并且所得结论更具一般化，更有意义和价值，但限于试题的考查内容及难度，中考试题还是以正方形为背景呈现.

五、教学启示

1.凸显核心素养，聚焦核心知识

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，明确给出了核心素养的概念：学生应具备适应终身发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力.通俗的说，这里的必备品格和能力就是所学的数学知识遗忘后剩下的东西，或者说从数学的角度看问题和有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确的表达的意识与能力.

而初中阶段数学中的核心知识是形成数学能力提升数学素养的重要载体和抓手，也是中考命题者青睐的对象，综合数学的核心知识进行命题，有利于考查学生的数学素养及探究能力，有助于从知识考查走向能力立意.此题聚焦初中数学的核心知识有：正方形、圆、相似三角形与勾股定理，包含直径与所对的圆周角的关系、圆内接四边形、相似三角形中的比例线段的转化、运用成比例线段列式和勾股定理求解线段.

题目通过正方形ABCD、圆内接四边形CFGD等数学概念，抽象出相似模型，并用数学术语△AFG∽△DFC进行表征，体现了对数学抽象的考查，尤其凸显对数学逻辑推理的考查.逻辑推理作为学生数学核心素养的重要方面，是学生要求具备的关键能力之一.初中阶段学生的思维正处于由形象思维向逻辑思维过渡的时期，对学习抽象的几何知识有一定的困难，教师如何组织几何教学，促进学生思维能力的发展，无疑是数学教育中的重要课题，所以教师要培养学生“好动”“究理”，动手操作，画一画，拼一拼，转一转，折一折，动静转换，善于思考，直观想象，逻辑推理，让课堂真正成为提升学生数学核心素养的主阵地.

2.关注基本图形，突出模型思想

几何问题通常由基本图形构成，掌握了这些基本图形可以更好地解决一些复杂问题.较复杂的几何图形都是由两个及以上的基本图形叠合而成，只要从复杂图形中剥离出解决问题所需要的基本模型，这些问题也能化繁为简、化未知为已知，然后便可迎刃而解.

如图10，题目中蕴含了丰富的基本图形，如“母子型”相似、弦图、圆内接四边形、“旋转”型相似（一拖二），考查学生根据以往的活动经验所形成的基本图形的模型思想，将原题中的几何图形换个视角去观察，重新进行图形表述，探寻解决问题的切入口，获取问题转化的灵感源泉.模型要精化，但不要泛化，要让学生有更多的体验过程；模型要强化，但不要僵化，要让学生有更多的创新机会；模型要深化，但不要固化，要让学生有更多的想象空间.

图10

因此，教师在平时的几何教学中要加强识图教学，尤其是常见的特殊三角形、四边形和圆的特点，引导学生能够识别基本图形，提炼基本图形，补全基本图形，注重基本图形的组合、分拆.在日常的几何教学中，不要急于给图，要让学生根据题目自己尝试画图，让学生体验图形的生长过程，追寻图形的形成过程，抽象出数学概念、定理，直观想象出结论.或者在思考过程中，让学生经历第二次构图，这样才能在今后的复杂图形中提炼出基本图形，才能在文字语言、符号语言与图形语言之间进行相互转化，真正达到提高学生数学核心素养的目的.

3.引导“理性思维”，注重“通性、通法”

发展学生的思维能力，提高学生的数学素养，是初中数学教学的主要任务.教学中，教师要坚持“学为中心”的理念，多给学生探究的时间和空间，多关注学生“学”的行为和结果，充分让学生经历数学知识的探索、发现和形成过程，让学生主动参与解题的思维过程，多动手画图、推理、计算，发展学生的思维，积累活动经验，提升解题能力.

此题第（2）小题的解法有很多，解法1虽然运算过程有些烦琐，但却是学生最容易想到的，是学生选择最多的一种方法，阅卷时也得到了验证；解法2需要用到“等比代换”，进而得到线段相等，对学生的逻辑推理能力有了更高的要求，需要学生探索运算思路，设计运算程序；解法5更为独特，需要学生有较强的基本图形识别能力，并且顺利补全基本图形（弦图）；解法7借助了直角坐标系的解析法，其实在涉及正方形的计算时，基本都可以使用“暴力解析”，但这显然不利于初中阶段学生逻辑推理能力的培养，更不是命题者的初衷.

因此，在教学中，教师要注重一题多解和多题归一.一题多解是发散思维，多题归一是追寻数学的本质和解题规律，即通性、通法.当然，我们提倡发散思维，但同样要强调优化思维，引导学生理性思维，从学生出发，引导学生去分析思维的起点与突破口，寻找朴素的、适合学生思维的自然生成，即学生容易想到的，或者适合学生最近发展区的解法，即先让学生“想得到”，再让学生“想得妙”，要教给学生解题背后的“套路”，感悟“套路”背后所蕴涵的最基本的思想方法，探索试题背后的价值，让通性、通法成为学生解题的“家常菜”.同时，教师也要注重试题价值的深度思考和功能挖掘，进行变式拓展，培养学生主动探究的能力，让学生解一题、会一类、通一片，从而真正提高学生的数学核心素养.