改善几何学习初体验

金晓群

（浙江省青田县第二中学）

学习体验对学生的学习有着深刻的影响，某个领域起始内容的学习尤为如此.浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（以下统称“教材”）第六章“图形的初步知识”是初中学生学习“图形与几何”领域的起始章，学好这一章对于后续的几何学习具有重要意义.笔者立足几何起始章的教学实践，从六个方面提炼出改善学生学习体验的做法，希望给教师的教、学生的学带来有益的启示.

一、引导动手操作，改善概念引入体验

数学是思维的科学，概念是思维的细胞，教好概念是教好数学的内在要求.概念的引入是概念教学的第一个环节，它在很大程度上将决定概念教学的成败.在几何教学的起始阶段，教师可以尝试让学生运用动手操作的方式引入概念.

案例1：几何图形.

教材“6.1几何图形”是初中几何的起始课.本节课的教学目标是：经历从实际情境中抽象出几何图形的过程，进一步认识点、线、面、体；了解几何体与立体图形的概念，了解平面与平面图形的概念.教师将教材上的点、线、面、体、几何图形、立体图形、平面图形等概念，以文字的形式介绍给学生当然不难，但是学生的体验可能会不好.教师将这些概念的本质讲清楚，并落实到学生心里，又几乎不可能.因此，让学生通过动手操作来体验几何概念是一种有效途径.

具体做法如下：教师在课前布置课外作业，要求每人制作一个立体几何模型，材料不限.课堂上，将班级学生分成8个小组进行成果展示，要求每组派出三名学生.一名学生为制作者，简要说明几何体的材质及制作方法；一名学生为介绍者，介绍几何体的特点；一名学生为画图者，把几何体表现在黑板平面上，各组展示的内容不能重复.学生的课堂展示详情如图1和图2所示.

图1

图2

学生展示之后，已基本完成本节课的教学目标.而且在这个过程中，学生能认识到“几何研究是不考虑物质的构成材料和颜色的，只研究它们的形状、大小和位置关系”.合理、适度的动手操作既能带给学生良好的学习体验，又能提升学生的思维水平.

二、活用辅助软件，改善概念辨析体验

信息时代背景下，改善学生的学习体验不能只局限在自制教具上，电脑软件的支持必不可少.教材第六章“阅读材料”中介绍的几何画板软件就是一款被一线教师广泛使用的教学辅助软件.若教师能灵活运用这类软件，且用得恰到好处，就能改善学生的学习体验.特别地，运用几何画板软件能使学生更好地理解“图形变化中保持既定的关系不变”这一特点，给学生在概念辨析环节带来良好的体验.

案例2：余角和补角.

在教材“6.8余角和补角”一节中，掌握余角和补角的概念是本节课的教学重点.现在以余角的概念的教学为例来说明.

教师先展示图3，以∠1和∠2为例，下定义：如果两个锐角的和是一个直角，则这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个的余角.这是传统的处理方式，但仅止步于此，会使学生对概念的理解处在似懂非懂的表层，哪怕有大量后续的练习纠偏，学习体验却也不尽如人意.

图3

在备课阶段，教师可以运用几何画板软件制作动态效果，使∠2能随意平移，也能绕它的顶点任意旋转.在课堂上展示了两个角互余的定义之后，教师借助几何画板软件进行如下的操作环节：操作①，将图4（1）中的∠2向左平移，如图4（2）所示；操作②，将图4（2）中的∠2绕其顶点逆时针旋转，如图4（3）所示；操作③，将图4（3）中的∠2再次绕其顶点逆时针旋转，如图4（4）所示；操作④，将图4（4）中的∠2绕其顶点逆时针旋转，使∠2与∠1一边重合，如图4（5）所示；操作⑤，将图4（5）中的∠2绕其顶点逆时针旋转，使∠2在∠1内部，如图4（6）所示.在完成每一步操作之后，都请学生判断∠2与∠1是否互余.

图4

以上通过几何画板软件实现的图形变化自然、连续，画面干净、简练，又蕴含数学本质，使学生的注意力牢牢地聚焦在∠2和∠1上，既容易又深刻地理解了余角概念的本质，即两个角是否互余，只与这两个角的大小有关，与它们的位置无关.这比只用黑板或投影上的静止图形来介绍余角的概念，然后通过大量练习来弥补学生对概念理解的不足的学习体验要好得多.无需多言，补角的概念也可以仿照学习.

三、自制简易教具，改善技能习得体验

大部分刚进入初中的学生的抽象思维还是比较弱的.因此，在课堂上，教师应该预见到学生在学习几何时会遇到的障碍，重视直观教学在引领学生几何学习中的作用.而运用自制的简易教具改善学生的几何学习体验不失为一种可行、贴心的尝试.

案例3：线段的长短比较.

在教材“6.3线段的长短比较”中，有如下例题：如图5，已知线段a，用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段a.

图5

这是初中学生第一次遇到尺规作图.一般情况下，教师都是用刻度尺代替直尺，用圆规直接量取线段.这对理解能力强的学生来说自然没什么问题，而对学困生而言，他们往往并没有真正理解尺规作图的内涵.在教学此题时，笔者在课前准备了一根用硬纸板做成的无刻度直尺和一根绳子，并进行如下教学.

师：尺规作图中的直尺指的就是这样没有刻度的尺子.大家没有这样的尺子怎么办呢？当然，也可以用刻度尺，只要“假装”没有看见刻度即可.现在，我们一起来作图.首先，用直尺任意画一条射线AC，其次，在射线AC上截取AB=a.由于不用刻度尺了，可以用绳子确定线段AB，相当于把线段a“复制粘贴”在射线AC上.

事实上，圆规两个脚尖也能确定一条线段.使用圆规截取线段，不但效果一样，还更加优雅.

万事开头难.如何在学生第一次遇到尺规作图时就简练、准确地介绍这种方法呢？教师借助这些自制教具，可以在轻松愉快的氛围中，自然、准确、简练地介绍清楚直尺的准确含义、圆规的本质功能和刻度尺代替直尺的合理性等问题.自制教具的准备工作非常简单，甚至简陋，随手拈来，却能让学生体验到亲切，更重要的是让学生理解问题更为透彻，可以说是“小付出，大回报”.

四、善用类比教学，改善思路探求体验

类比是发现与创新的重要手段.在解题教学中，运用类比的方法也能提高效率，达到事半功倍的效果，同时，也能使学生获得不断成功的良好体验.在教材第六章“图形的初步知识”中，涉及到大量的线段和角相关的计算，使学生感到烦琐、厌倦.事实上，线段的计算与角的计算在方法和策略上有很多相似之处，甚至可以说是一样的.因此，不妨运用类比的方法尝试解决问题.

案例4：线段和角的计算问题.

关于线段的计算有如下一道题目.

1.如图6，已知线段AB=10，BP=4，M，N分别是线段AP，BP的中点，求线段MN的长度.

图6

变式1：若图6中线段AB=10，BP=3，M，N分别是线段AP，BP的中点，求线段MN的长度.

当BP的值未知时，完成变式2和变式3.

变式2：如图7，已知线段AB=10，点P在线段AB的延长线上，M，N分别是线段AP，BP的中点，求线段MN的长度.

图7

变式3：如图8，已知线段AB=10，点P在线段BA的延长线上，M，N分别是线段AP，BP的中点，求线段MN的长度.

图8

由此，你能得到什么结论？

关于角的计算有如下一道题目.

2.如图9，已知 ∠AOB=70°，∠BOC=20°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数.

图9

变式1：若图9中 ∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数.

当∠BOC的度数未知时，完成变式2和变式3.

变式2：如图10，已知∠AOB=70°，射线OC在∠AOB的外部、且在OB的下方，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数.

图10

变式3：如图11，已知∠AOB=70°，射线OC在∠AOB的外部、且在OB的上方，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数.

由此，你能得到什么结论？

以上两个题组，一个以线段为背景，一个以角为背景；一个以线段的中点为核心条件，一个以角的平分线为核心条件.表面上看似乎有些不同，实际上思路几乎一样.实际上，这就是引领学生体验“多题一解”，意义深远.因为有了这种意识，学生慢慢地可以从题海中解放出来，使数学学习不再是一种沉重的负担.长此以往，学生的数学学习能力也可以稳步提升.

五、宽容不同表达，改善推理书写体验

培养学生的数学推理尤其是演绎推理能力是数学教学的重要任务.由于七年级学生刚刚学习写几何推理过程，要书写严谨、规范的演绎推理过程还有一定的困难.基于这样的考虑，在几何学习的起始阶段，教师不妨宽容地看待学生的各种推理表达.

案例5：直线的相交.

教材“6.9直线的相交”中有如下一道要求书写推理的例子.

如图12，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°.求∠AOB的度数.

图12

规范书写如下：

∵∠DOE与∠COE互余，（已知）

∴∠DOE+∠COE=90°.（互余的意义）

∵∠COE=62°，（已知）

∴∠DOE=90°-∠COE=90°-62°=28°.

∵∠AOB与∠DOE是对顶角，（已知）

∴∠AOB=∠DOE=28°.（对顶角相等）

生1书写如下：

180°-90°-62°=28°.

生2书写如下：

∵互余的两个角的和为90°，

∴∠DOE=28°.

∵对顶角相等，

∴∠AOB=∠DOE=28°.

生1书写的就是一个算式，小学的痕迹非常明显；生2把本应写在每一行末尾的推理理由写在前面.虽然这些演绎推理的书写过程与教材展示的规范书写有一定的差距，但也能看出学生的思路还是正确的.学生能正确使用几何语言，并形成完整、规范的推理书写需要一个过程.在初中几何学习的起始阶段，教师不能操之过急.教师要尊重学生的书写过程，再加以引导，并通过学生书写中出现的一些典型错误，向学生解释“为什么要展示已知条件”“为什么要写理由”，有理有节、循序渐进地引导学生掌握规范的推理方式.

六、借助创意专题，改善几何复习体验

复习课占总课时的比例是比较大的.以七年级上学期的数学课为例，一个学期的课时数约为100节，而教材六章共计新授课46节，也就意味着有超过50%的课是复习课.于学生而言，对新授课的好感远胜于复习课.原因是复习课总是“知识点+习题”“做试卷”，感觉枯燥、乏味.教师要想让学生在复习课中获得良好的学习体验，还需要对复习课本身进行改变，而创意复习就是一项有意义的实践.

案例6：“图形的初步知识”一章的创意复习.

几何起始章的创意复习对于改善学生的几何学习体验也有着重要的作用.教材第六章“图形的初步知识”共有10个课时的新授课，在本章的复习阶段，笔者设计了11节专题复习课，如下表所示.

序号1 2 3 4 5创意复习标题演绎推理初体验数轴上的线段数数角与线段的类比发挥字母的力量主要内容或学习目标初步掌握演绎推理的格式探索线段的长度、线段的中点与数轴上的点所对应的数的关系图形计数，规律探索学会解决关于角、线段的典型习题尝试用设“元”的方法解决较难的几何问题意义初步掌握演绎推理基本功提升代数与几何的综合运用能力以几何图形为背景，锻炼概括归纳能力，并加深对几何图形的认识尝试多题一解，丰富解题经验以数助形，感悟代数与几何的联系

续表

这些复习课有主题、有思维、有挑战、有创新，进而也就有品质、有品位.这种“意料之外，又情理之中”的复习带给学生的体验是僵硬的“昨日重现”式复习所不能比拟的.按照这样的复习，学生不仅能自然地回忆、巩固本章基础知识，而且能把一学期甚至更多的已学知识融会贯通，还能开阔视野，真正做到“温故而知新”.

良好的开端是成功的一半.学生在学习几何的起始阶段就获得良好的学习体验，必将对后续的数学学习产生深远的积极影响.改善学生的学习体验，一方面，可以使学生在课堂上保持良好的学习状态，从而提升学习效果；另一方面，可以激发学生的学习兴趣，关注学生的长远发展，为学生的终身发展打下良好基础.